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Theorem cdleml1N

Description: Part of proof of Lemma L of Crawley p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdleml1N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleml1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleml1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdleml1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdleml1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 cdleml1.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
7 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
8 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
9 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
10 9 2 3 4 5 tendotp ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) )
11 6 7 8 10 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) )
12 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
14 12 13 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
15 2 3 5 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
16 6 7 8 15 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
17 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
18 eqid ⊢ ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 )
19 1 18 2 3 4 trlnidat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
20 6 16 17 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
21 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
22 1 18 2 3 4 trlnidat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
23 6 8 21 22 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
24 9 18 atcmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ↔ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) )
25 14 20 23 24 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ↔ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) )
26 11 25 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) )
27 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
28 9 2 3 4 5 tendotp ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) )
29 6 27 8 28 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) )
30 2 3 5 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
31 6 27 8 30 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
32 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
33 1 18 2 3 4 trlnidat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
34 6 31 32 33 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
35 9 18 atcmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ↔ ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) )
36 14 34 23 35 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ↔ ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) )
37 29 36 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) )
38 26 37 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) )