Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cfili |
β’ ( ( πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β β π β πΉ β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) |
2 |
1
|
3adant1 |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β β π β πΉ β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) |
3 |
|
cfilfil |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) ) β πΉ β ( Fil β π ) ) |
4 |
3
|
3adant3 |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β πΉ β ( Fil β π ) ) |
5 |
|
fileln0 |
β’ ( ( πΉ β ( Fil β π ) β§ π β πΉ ) β π β β
) |
6 |
4 5
|
sylan |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β π β β
) |
7 |
|
r19.2z |
β’ ( ( π β β
β§ β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) β β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) |
8 |
7
|
ex |
β’ ( π β β
β ( β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
β β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) ) |
9 |
6 8
|
syl |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β ( β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
β β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) ) |
10 |
|
filelss |
β’ ( ( πΉ β ( Fil β π ) β§ π β πΉ ) β π β π ) |
11 |
4 10
|
sylan |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β π β π ) |
12 |
|
ssrexv |
β’ ( π β π β ( β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
β β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) ) |
13 |
11 12
|
syl |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β ( β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
β β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) ) |
14 |
|
dfss3 |
β’ ( π β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β β π¦ β π π¦ β ( π₯ ( ball β π· ) π
) ) |
15 |
|
simpl1 |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β π· β ( βMet β π ) ) |
16 |
15
|
ad2antrr |
β’ ( ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β§ π¦ β π ) β π· β ( βMet β π ) ) |
17 |
|
simpll3 |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β π
β β+ ) |
18 |
17
|
rpxrd |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β π
β β* ) |
19 |
18
|
adantr |
β’ ( ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β§ π¦ β π ) β π
β β* ) |
20 |
|
simplr |
β’ ( ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β§ π¦ β π ) β π₯ β π ) |
21 |
11
|
adantr |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β π β π ) |
22 |
21
|
sselda |
β’ ( ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β§ π¦ β π ) β π¦ β π ) |
23 |
|
elbl2 |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π
β β* ) β§ ( π₯ β π β§ π¦ β π ) ) β ( π¦ β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β ( π₯ π· π¦ ) < π
) ) |
24 |
16 19 20 22 23
|
syl22anc |
β’ ( ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β§ π¦ β π ) β ( π¦ β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β ( π₯ π· π¦ ) < π
) ) |
25 |
24
|
ralbidva |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β ( β π¦ β π π¦ β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) ) |
26 |
14 25
|
bitrid |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β ( π β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
) ) |
27 |
4
|
ad2antrr |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β πΉ β ( Fil β π ) ) |
28 |
|
simplr |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β π β πΉ ) |
29 |
15
|
adantr |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β π· β ( βMet β π ) ) |
30 |
|
simpr |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β π₯ β π ) |
31 |
|
blssm |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π₯ β π β§ π
β β* ) β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β π ) |
32 |
29 30 18 31
|
syl3anc |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β π ) |
33 |
|
filss |
β’ ( ( πΉ β ( Fil β π ) β§ ( π β πΉ β§ ( π₯ ( ball β π· ) π
) β π β§ π β ( π₯ ( ball β π· ) π
) ) ) β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β πΉ ) |
34 |
33
|
3exp2 |
β’ ( πΉ β ( Fil β π ) β ( π β πΉ β ( ( π₯ ( ball β π· ) π
) β π β ( π β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β πΉ ) ) ) ) |
35 |
27 28 32 34
|
syl3c |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β ( π β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β πΉ ) ) |
36 |
26 35
|
sylbird |
β’ ( ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β§ π₯ β π ) β ( β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
β ( π₯ ( ball β π· ) π
) β πΉ ) ) |
37 |
36
|
reximdva |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β ( β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
β β π₯ β π ( π₯ ( ball β π· ) π
) β πΉ ) ) |
38 |
9 13 37
|
3syld |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β§ π β πΉ ) β ( β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
β β π₯ β π ( π₯ ( ball β π· ) π
) β πΉ ) ) |
39 |
38
|
rexlimdva |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β ( β π β πΉ β π₯ β π β π¦ β π ( π₯ π· π¦ ) < π
β β π₯ β π ( π₯ ( ball β π· ) π
) β πΉ ) ) |
40 |
2 39
|
mpd |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ πΉ β ( CauFil β π· ) β§ π
β β+ ) β β π₯ β π ( π₯ ( ball β π· ) π
) β πΉ ) |