Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
chfacfisf.a |
โข ๐ด = ( ๐ Mat ๐
) |
2 |
|
chfacfisf.b |
โข ๐ต = ( Base โ ๐ด ) |
3 |
|
chfacfisf.p |
โข ๐ = ( Poly1 โ ๐
) |
4 |
|
chfacfisf.y |
โข ๐ = ( ๐ Mat ๐ ) |
5 |
|
chfacfisf.r |
โข ร = ( .r โ ๐ ) |
6 |
|
chfacfisf.s |
โข โ = ( -g โ ๐ ) |
7 |
|
chfacfisf.0 |
โข 0 = ( 0g โ ๐ ) |
8 |
|
chfacfisf.t |
โข ๐ = ( ๐ matToPolyMat ๐
) |
9 |
|
chfacfisf.g |
โข ๐บ = ( ๐ โ โ0 โฆ if ( ๐ = 0 , ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) , if ( ๐ = ( ๐ + 1 ) , ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) , if ( ( ๐ + 1 ) < ๐ , 0 , ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
10 |
|
chfacfscmulcl.x |
โข ๐ = ( var1 โ ๐
) |
11 |
|
chfacfscmulcl.m |
โข ยท = ( ยท๐ โ ๐ ) |
12 |
|
chfacfscmulcl.e |
โข โ = ( .g โ ( mulGrp โ ๐ ) ) |
13 |
|
chfacfscmulgsum.p |
โข + = ( +g โ ๐ ) |
14 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐ ) = ( Base โ ๐ ) |
15 |
|
crngring |
โข ( ๐
โ CRing โ ๐
โ Ring ) |
16 |
15
|
anim2i |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐
โ Ring ) ) |
17 |
16
|
3adant3 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐
โ Ring ) ) |
18 |
3 4
|
pmatring |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ Ring ) โ ๐ โ Ring ) |
19 |
17 18
|
syl |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ๐ โ Ring ) |
20 |
|
ringcmn |
โข ( ๐ โ Ring โ ๐ โ CMnd ) |
21 |
19 20
|
syl |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ๐ โ CMnd ) |
22 |
21
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐ โ CMnd ) |
23 |
|
nn0ex |
โข โ0 โ V |
24 |
23
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ โ0 โ V ) |
25 |
|
simpll |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ โ0 ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) ) |
26 |
|
simplr |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ โ0 ) โ ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) |
27 |
|
simpr |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ โ0 ) โ ๐ โ โ0 ) |
28 |
25 26 27
|
3jca |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ โ0 ) โ ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) โง ๐ โ โ0 ) ) |
29 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
chfacfscmulcl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) โง ๐ โ โ0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
30 |
28 29
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ โ0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
31 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
chfacfscmulfsupp |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ โ0 โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) finSupp 0 ) |
32 |
|
nn0disj |
โข ( ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฉ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) = โ
|
33 |
32
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฉ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) = โ
) |
34 |
|
nnnn0 |
โข ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ0 ) |
35 |
|
peano2nn0 |
โข ( ๐ โ โ0 โ ( ๐ + 1 ) โ โ0 ) |
36 |
34 35
|
syl |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ + 1 ) โ โ0 ) |
37 |
|
nn0split |
โข ( ( ๐ + 1 ) โ โ0 โ โ0 = ( ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โช ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) ) |
38 |
36 37
|
syl |
โข ( ๐ โ โ โ โ0 = ( ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โช ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) ) |
39 |
38
|
ad2antrl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ โ0 = ( ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โช ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) ) |
40 |
14 7 13 22 24 30 31 33 39
|
gsumsplit2 |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ โ0 โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
41 |
|
simpll |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) ) |
42 |
|
simplr |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) โ ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) |
43 |
|
nncn |
โข ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ ) |
44 |
|
add1p1 |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) = ( ๐ + 2 ) ) |
45 |
43 44
|
syl |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) = ( ๐ + 2 ) ) |
46 |
45
|
ad2antrl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) = ( ๐ + 2 ) ) |
47 |
46
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) = ( โคโฅ โ ( ๐ + 2 ) ) ) |
48 |
47
|
eleq2d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โ ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 2 ) ) ) ) |
49 |
48
|
biimpa |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) โ ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 2 ) ) ) |
50 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
chfacfscmul0 |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 2 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = 0 ) |
51 |
41 42 49 50
|
syl3anc |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = 0 ) |
52 |
51
|
mpteq2dva |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ 0 ) ) |
53 |
52
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ 0 ) ) ) |
54 |
15 18
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing ) โ ๐ โ Ring ) |
55 |
|
ringmnd |
โข ( ๐ โ Ring โ ๐ โ Mnd ) |
56 |
54 55
|
syl |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing ) โ ๐ โ Mnd ) |
57 |
56
|
3adant3 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ๐ โ Mnd ) |
58 |
|
fvex |
โข ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โ V |
59 |
57 58
|
jctir |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ๐ โ Mnd โง ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โ V ) ) |
60 |
59
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ Mnd โง ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โ V ) ) |
61 |
7
|
gsumz |
โข ( ( ๐ โ Mnd โง ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โ V ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ 0 ) ) = 0 ) |
62 |
60 61
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ 0 ) ) = 0 ) |
63 |
53 62
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = 0 ) |
64 |
63
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + 0 ) ) |
65 |
|
fzfid |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โ Fin ) |
66 |
|
elfznn0 |
โข ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โ ๐ โ โ0 ) |
67 |
66 28
|
sylan2 |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) โง ๐ โ โ0 ) ) |
68 |
67 29
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
69 |
68
|
ralrimiva |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ โ ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
70 |
14 22 65 69
|
gsummptcl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
71 |
14 13 7
|
mndrid |
โข ( ( ๐ โ Mnd โง ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + 0 ) = ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
72 |
57 70 71
|
syl2an2r |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + 0 ) = ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
73 |
64 72
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ( ๐ + 1 ) + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
74 |
34
|
ad2antrl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐ โ โ0 ) |
75 |
14 13 22 74 68
|
gsummptfzsplit |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ { ( ๐ + 1 ) } โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
76 |
|
elfznn0 |
โข ( ๐ โ ( 0 ... ๐ ) โ ๐ โ โ0 ) |
77 |
76 30
|
sylan2 |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 0 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
78 |
14 13 22 74 77
|
gsummptfzsplitl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ { 0 } โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
79 |
57
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐ โ Mnd ) |
80 |
|
0nn0 |
โข 0 โ โ0 |
81 |
80
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ 0 โ โ0 ) |
82 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
chfacfscmulcl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) โง 0 โ โ0 ) โ ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
83 |
81 82
|
mpd3an3 |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
84 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = 0 โ ( ๐ โ ๐ ) = ( 0 โ ๐ ) ) |
85 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = 0 โ ( ๐บ โ ๐ ) = ( ๐บ โ 0 ) ) |
86 |
84 85
|
oveq12d |
โข ( ๐ = 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) |
87 |
14 86
|
gsumsn |
โข ( ( ๐ โ Mnd โง 0 โ โ0 โง ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ { 0 } โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) |
88 |
79 81 83 87
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ { 0 } โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) |
89 |
88
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ { 0 } โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) ) |
90 |
78 89
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) ) |
91 |
|
ovexd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ V ) |
92 |
|
1nn0 |
โข 1 โ โ0 |
93 |
92
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ 1 โ โ0 ) |
94 |
74 93
|
nn0addcld |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ โ0 ) |
95 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
chfacfscmulcl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) โง ( ๐ + 1 ) โ โ0 ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
96 |
94 95
|
mpd3an3 |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
97 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) |
98 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ ( ๐บ โ ๐ ) = ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) |
99 |
97 98
|
oveq12d |
โข ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
100 |
14 99
|
gsumsn |
โข ( ( ๐ โ Mnd โง ( ๐ + 1 ) โ V โง ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ { ( ๐ + 1 ) } โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
101 |
79 91 96 100
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ { ( ๐ + 1 ) } โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
102 |
90 101
|
oveq12d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ { ( ๐ + 1 ) } โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) ) |
103 |
|
fzfid |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( 1 ... ๐ ) โ Fin ) |
104 |
|
simpll |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) ) |
105 |
|
simplr |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) |
106 |
|
elfznn |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
107 |
106
|
nnnn0d |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ โ โ0 ) |
108 |
107
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ๐ โ โ0 ) |
109 |
104 105 108 29
|
syl3anc |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
110 |
109
|
ralrimiva |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
111 |
14 22 103 110
|
gsummptcl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
112 |
14 13
|
mndass |
โข ( ( ๐ โ Mnd โง ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) โง ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) โ ( Base โ ๐ ) โง ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) ) โ ( ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) ) ) |
113 |
79 111 83 96 112
|
syl13anc |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) ) ) |
114 |
106
|
nnne0d |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ โ 0 ) |
115 |
114
|
ad2antlr |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ๐ โ 0 ) |
116 |
|
neeq1 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ โ 0 โ ๐ โ 0 ) ) |
117 |
116
|
adantl |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ( ๐ โ 0 โ ๐ โ 0 ) ) |
118 |
115 117
|
mpbird |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ๐ โ 0 ) |
119 |
|
eqneqall |
โข ( ๐ = 0 โ ( ๐ โ 0 โ 0 = ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) ) |
120 |
118 119
|
mpan9 |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ๐ = 0 ) โ 0 = ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) |
121 |
|
simplr |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ๐ = 0 ) โ ๐ = ๐ ) |
122 |
|
eqeq1 |
โข ( 0 = ๐ โ ( 0 = ๐ โ ๐ = ๐ ) ) |
123 |
122
|
eqcoms |
โข ( ๐ = 0 โ ( 0 = ๐ โ ๐ = ๐ ) ) |
124 |
123
|
adantl |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ๐ = 0 ) โ ( 0 = ๐ โ ๐ = ๐ ) ) |
125 |
121 124
|
mpbird |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ๐ = 0 ) โ 0 = ๐ ) |
126 |
125
|
fveq2d |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ๐ = 0 ) โ ( ๐ โ 0 ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
127 |
126
|
fveq2d |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ๐ = 0 ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
128 |
127
|
oveq2d |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ๐ = 0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
129 |
120 128
|
oveq12d |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ๐ = 0 ) โ ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
130 |
|
elfz2 |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โง ( 1 โค ๐ โง ๐ โค ๐ ) ) ) |
131 |
|
zleltp1 |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โค ๐ โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) ) |
132 |
131
|
ancoms |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โค ๐ โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) ) |
133 |
132
|
3adant1 |
โข ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โค ๐ โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) ) |
134 |
133
|
biimpcd |
โข ( ๐ โค ๐ โ ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) ) |
135 |
134
|
adantl |
โข ( ( 1 โค ๐ โง ๐ โค ๐ ) โ ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) ) |
136 |
135
|
impcom |
โข ( ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โง ( 1 โค ๐ โง ๐ โค ๐ ) ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) |
137 |
136
|
orcd |
โข ( ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โง ( 1 โค ๐ โง ๐ โค ๐ ) ) โ ( ๐ < ( ๐ + 1 ) โจ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) ) |
138 |
|
zre |
โข ( ๐ โ โค โ ๐ โ โ ) |
139 |
|
1red |
โข ( ๐ โ โค โ 1 โ โ ) |
140 |
138 139
|
readdcld |
โข ( ๐ โ โค โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
141 |
|
zre |
โข ( ๐ โ โค โ ๐ โ โ ) |
142 |
140 141
|
anim12ci |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ โ โง ( ๐ + 1 ) โ โ ) ) |
143 |
142
|
3adant1 |
โข ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ โ โง ( ๐ + 1 ) โ โ ) ) |
144 |
|
lttri2 |
โข ( ( ๐ โ โ โง ( ๐ + 1 ) โ โ ) โ ( ๐ โ ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ < ( ๐ + 1 ) โจ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) ) ) |
145 |
143 144
|
syl |
โข ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ โ ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ < ( ๐ + 1 ) โจ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) ) ) |
146 |
145
|
adantr |
โข ( ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โง ( 1 โค ๐ โง ๐ โค ๐ ) ) โ ( ๐ โ ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ < ( ๐ + 1 ) โจ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) ) ) |
147 |
137 146
|
mpbird |
โข ( ( ( 1 โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โง ( 1 โค ๐ โง ๐ โค ๐ ) ) โ ๐ โ ( ๐ + 1 ) ) |
148 |
130 147
|
sylbi |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ โ ( ๐ + 1 ) ) |
149 |
148
|
ad2antlr |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ๐ โ ( ๐ + 1 ) ) |
150 |
|
neeq1 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ + 1 ) โ ๐ โ ( ๐ + 1 ) ) ) |
151 |
150
|
adantl |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ( ๐ โ ( ๐ + 1 ) โ ๐ โ ( ๐ + 1 ) ) ) |
152 |
149 151
|
mpbird |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ๐ โ ( ๐ + 1 ) ) |
153 |
152
|
adantr |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โ ๐ โ ( ๐ + 1 ) ) |
154 |
153
|
neneqd |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โ ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) |
155 |
154
|
pm2.21d |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โ ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
156 |
155
|
imp |
โข ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
157 |
106
|
nnred |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
158 |
|
eleq1w |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ ) ) |
159 |
157 158
|
syl5ibrcom |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ( ๐ = ๐ โ ๐ โ โ ) ) |
160 |
159
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ = ๐ โ ๐ โ โ ) ) |
161 |
160
|
imp |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
162 |
74
|
nn0red |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐ โ โ ) |
163 |
162
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
164 |
|
1red |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ 1 โ โ ) |
165 |
163 164
|
readdcld |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
166 |
130 136
|
sylbi |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) |
167 |
166
|
ad2antlr |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) |
168 |
|
breq1 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ < ( ๐ + 1 ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) ) |
169 |
168
|
adantl |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ( ๐ < ( ๐ + 1 ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) ) |
170 |
167 169
|
mpbird |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ๐ < ( ๐ + 1 ) ) |
171 |
161 165 170
|
ltnsymd |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ยฌ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) |
172 |
171
|
pm2.21d |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ ( ( ๐ + 1 ) < ๐ โ 0 = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
173 |
172
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โ ( ( ๐ + 1 ) < ๐ โ 0 = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
174 |
173
|
imp |
โข ( ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ( ๐ + 1 ) < ๐ ) โ 0 = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
175 |
|
simp-4r |
โข ( ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ยฌ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) โ ๐ = ๐ ) |
176 |
175
|
fvoveq1d |
โข ( ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ยฌ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) |
177 |
176
|
fveq2d |
โข ( ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ยฌ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) |
178 |
175
|
fveq2d |
โข ( ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ยฌ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
179 |
178
|
fveq2d |
โข ( ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ยฌ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
180 |
179
|
oveq2d |
โข ( ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ยฌ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
181 |
177 180
|
oveq12d |
โข ( ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ยฌ ( ๐ + 1 ) < ๐ ) โ ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
182 |
174 181
|
ifeqda |
โข ( ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โง ยฌ ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โ if ( ( ๐ + 1 ) < ๐ , 0 , ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
183 |
156 182
|
ifeqda |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โ if ( ๐ = ( ๐ + 1 ) , ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) , if ( ( ๐ + 1 ) < ๐ , 0 , ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
184 |
129 183
|
ifeqda |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ = ๐ ) โ if ( ๐ = 0 , ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) , if ( ๐ = ( ๐ + 1 ) , ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) , if ( ( ๐ + 1 ) < ๐ , 0 , ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
185 |
|
ovexd |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) โ V ) |
186 |
9 184 108 185
|
fvmptd2 |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐บ โ ๐ ) = ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
187 |
186
|
oveq2d |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
188 |
187
|
mpteq2dva |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
189 |
188
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
190 |
|
nn0p1gt0 |
โข ( ๐ โ โ0 โ 0 < ( ๐ + 1 ) ) |
191 |
|
0red |
โข ( ๐ โ โ0 โ 0 โ โ ) |
192 |
|
ltne |
โข ( ( 0 โ โ โง 0 < ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ 0 ) |
193 |
191 192
|
sylan |
โข ( ( ๐ โ โ0 โง 0 < ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ 0 ) |
194 |
|
neeq1 |
โข ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ โ 0 โ ( ๐ + 1 ) โ 0 ) ) |
195 |
193 194
|
syl5ibrcom |
โข ( ( ๐ โ โ0 โง 0 < ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ ๐ โ 0 ) ) |
196 |
34 190 195
|
syl2anc2 |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ ๐ โ 0 ) ) |
197 |
196
|
ad2antrl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ ๐ โ 0 ) ) |
198 |
197
|
imp |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โ ๐ โ 0 ) |
199 |
|
eqneqall |
โข ( ๐ = 0 โ ( ๐ โ 0 โ ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
200 |
198 199
|
mpan9 |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ๐ = 0 ) โ ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
201 |
|
iftrue |
โข ( ๐ = ( ๐ + 1 ) โ if ( ๐ = ( ๐ + 1 ) , ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) , if ( ( ๐ + 1 ) < ๐ , 0 , ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
202 |
201
|
ad2antlr |
โข ( ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โง ยฌ ๐ = 0 ) โ if ( ๐ = ( ๐ + 1 ) , ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) , if ( ( ๐ + 1 ) < ๐ , 0 , ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
203 |
200 202
|
ifeqda |
โข ( ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โง ๐ = ( ๐ + 1 ) ) โ if ( ๐ = 0 , ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) , if ( ๐ = ( ๐ + 1 ) , ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) , if ( ( ๐ + 1 ) < ๐ , 0 , ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
204 |
74 35
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ โ0 ) |
205 |
|
fvexd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) โ V ) |
206 |
9 203 204 205
|
fvmptd2 |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) = ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
207 |
206
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
208 |
15
|
3ad2ant2 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ๐
โ Ring ) |
209 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐ ) = ( Base โ ๐ ) |
210 |
10 3 209
|
vr1cl |
โข ( ๐
โ Ring โ ๐ โ ( Base โ ๐ ) ) |
211 |
208 210
|
syl |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ๐ โ ( Base โ ๐ ) ) |
212 |
|
eqid |
โข ( mulGrp โ ๐ ) = ( mulGrp โ ๐ ) |
213 |
212 209
|
mgpbas |
โข ( Base โ ๐ ) = ( Base โ ( mulGrp โ ๐ ) ) |
214 |
|
eqid |
โข ( 1r โ ๐ ) = ( 1r โ ๐ ) |
215 |
212 214
|
ringidval |
โข ( 1r โ ๐ ) = ( 0g โ ( mulGrp โ ๐ ) ) |
216 |
213 215 12
|
mulg0 |
โข ( ๐ โ ( Base โ ๐ ) โ ( 0 โ ๐ ) = ( 1r โ ๐ ) ) |
217 |
211 216
|
syl |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ( 0 โ ๐ ) = ( 1r โ ๐ ) ) |
218 |
3
|
ply1crng |
โข ( ๐
โ CRing โ ๐ โ CRing ) |
219 |
218
|
anim2i |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐ โ CRing ) ) |
220 |
219
|
3adant3 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐ โ CRing ) ) |
221 |
4
|
matsca2 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐ โ CRing ) โ ๐ = ( Scalar โ ๐ ) ) |
222 |
220 221
|
syl |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ๐ = ( Scalar โ ๐ ) ) |
223 |
222
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ( 1r โ ๐ ) = ( 1r โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
224 |
217 223
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ( 0 โ ๐ ) = ( 1r โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
225 |
224
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( 0 โ ๐ ) = ( 1r โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
226 |
225
|
oveq1d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) = ( ( 1r โ ( Scalar โ ๐ ) ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) |
227 |
3 4
|
pmatlmod |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ Ring ) โ ๐ โ LMod ) |
228 |
15 227
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing ) โ ๐ โ LMod ) |
229 |
228
|
3adant3 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ๐ โ LMod ) |
230 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
chfacfisf |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐บ : โ0 โถ ( Base โ ๐ ) ) |
231 |
15 230
|
syl3anl2 |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐บ : โ0 โถ ( Base โ ๐ ) ) |
232 |
231 81
|
ffvelcdmd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐บ โ 0 ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
233 |
|
eqid |
โข ( Scalar โ ๐ ) = ( Scalar โ ๐ ) |
234 |
|
eqid |
โข ( 1r โ ( Scalar โ ๐ ) ) = ( 1r โ ( Scalar โ ๐ ) ) |
235 |
14 233 11 234
|
lmodvs1 |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ( ๐บ โ 0 ) โ ( Base โ ๐ ) ) โ ( ( 1r โ ( Scalar โ ๐ ) ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) = ( ๐บ โ 0 ) ) |
236 |
229 232 235
|
syl2an2r |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( 1r โ ( Scalar โ ๐ ) ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) = ( ๐บ โ 0 ) ) |
237 |
|
iftrue |
โข ( ๐ = 0 โ if ( ๐ = 0 , ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) , if ( ๐ = ( ๐ + 1 ) , ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) , if ( ( ๐ + 1 ) < ๐ , 0 , ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) = ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) |
238 |
|
ovexd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) โ V ) |
239 |
9 237 81 238
|
fvmptd3 |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐บ โ 0 ) = ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) |
240 |
226 236 239
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) = ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) |
241 |
207 240
|
oveq12d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) = ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) + ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) ) |
242 |
14 13
|
cmncom |
โข ( ( ๐ โ CMnd โง ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) โ ( Base โ ๐ ) โง ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) โ ( ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) ) |
243 |
22 83 96 242
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) ) |
244 |
|
ringgrp |
โข ( ๐ โ Ring โ ๐ โ Grp ) |
245 |
19 244
|
syl |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ๐ โ Grp ) |
246 |
245
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐ โ Grp ) |
247 |
207 96
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
248 |
19
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐ โ Ring ) |
249 |
8 1 2 3 4
|
mat2pmatbas |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
250 |
15 249
|
syl3an2 |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
251 |
250
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
252 |
|
simpl1 |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐ โ Fin ) |
253 |
208
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐
โ Ring ) |
254 |
|
elmapi |
โข ( ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) โ ๐ : ( 0 ... ๐ ) โถ ๐ต ) |
255 |
254
|
adantl |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) โ ๐ : ( 0 ... ๐ ) โถ ๐ต ) |
256 |
255
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ๐ : ( 0 ... ๐ ) โถ ๐ต ) |
257 |
|
0elfz |
โข ( ๐ โ โ0 โ 0 โ ( 0 ... ๐ ) ) |
258 |
34 257
|
syl |
โข ( ๐ โ โ โ 0 โ ( 0 ... ๐ ) ) |
259 |
258
|
ad2antrl |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ 0 โ ( 0 ... ๐ ) ) |
260 |
256 259
|
ffvelcdmd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ 0 ) โ ๐ต ) |
261 |
8 1 2 3 4
|
mat2pmatbas |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ Ring โง ( ๐ โ 0 ) โ ๐ต ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
262 |
252 253 260 261
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
263 |
14 5
|
ringcl |
โข ( ( ๐ โ Ring โง ( ๐ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) โง ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
264 |
248 251 262 263
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
265 |
14 7 6 13
|
grpsubadd0sub |
โข ( ( ๐ โ Grp โง ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) โง ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) โ ( Base โ ๐ ) ) โ ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) + ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) ) |
266 |
246 247 264 265
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) + ( 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) ) |
267 |
241 243 266
|
3eqtr4d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) |
268 |
189 267
|
oveq12d |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) ) |
269 |
113 268
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) + ( ( 0 โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ 0 ) ) ) + ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) ) |
270 |
75 102 269
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 0 ... ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) ) |
271 |
40 73 270
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต ) โง ( ๐ โ โ โง ๐ โ ( ๐ต โm ( 0 ... ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ โ0 โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ ฮฃg ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ร ( ๐ โ ( ๐ โ 0 ) ) ) ) ) ) |