| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
| 2 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
| 3 |
|
rpre |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 4 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 5 |
2 3 4
|
sylancr |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 1 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 6 |
|
ifcl |
⊢ ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) → if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
| 7 |
1 5 6
|
sylancr |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
| 8 |
|
0red |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ ) |
| 9 |
1
|
a1i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
| 10 |
|
halfgt0 |
⊢ 0 < ( 1 / 2 ) |
| 11 |
10
|
a1i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < ( 1 / 2 ) ) |
| 12 |
|
max2 |
⊢ ( ( ( 1 − 𝑦 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 1 / 2 ) ≤ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) |
| 13 |
5 1 12
|
sylancl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 1 / 2 ) ≤ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) |
| 14 |
8 9 7 11 13
|
ltletrd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) |
| 15 |
7 14
|
elrpd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 16 |
15
|
rpsqrtcld |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 17 |
|
halflt1 |
⊢ ( 1 / 2 ) < 1 |
| 18 |
|
ltsubrp |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 1 − 𝑦 ) < 1 ) |
| 19 |
2 18
|
mpan |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 1 − 𝑦 ) < 1 ) |
| 20 |
|
breq1 |
⊢ ( ( 1 / 2 ) = if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) → ( ( 1 / 2 ) < 1 ↔ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < 1 ) ) |
| 21 |
|
breq1 |
⊢ ( ( 1 − 𝑦 ) = if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) → ( ( 1 − 𝑦 ) < 1 ↔ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < 1 ) ) |
| 22 |
20 21
|
ifboth |
⊢ ( ( ( 1 / 2 ) < 1 ∧ ( 1 − 𝑦 ) < 1 ) → if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < 1 ) |
| 23 |
17 19 22
|
sylancr |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < 1 ) |
| 24 |
15
|
rpge0d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) |
| 25 |
2
|
a1i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ ) |
| 26 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
| 27 |
26
|
a1i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1 ) |
| 28 |
7 24 25 27
|
sqrtltd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < 1 ↔ ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) < ( √ ‘ 1 ) ) ) |
| 29 |
23 28
|
mpbid |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) < ( √ ‘ 1 ) ) |
| 30 |
|
sqrt1 |
⊢ ( √ ‘ 1 ) = 1 |
| 31 |
29 30
|
breqtrdi |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) < 1 ) |
| 32 |
16 31
|
chtppilimlem2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 33 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( 1 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
| 34 |
|
max1 |
⊢ ( ( ( 1 − 𝑦 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑦 ) ≤ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) |
| 35 |
33 1 34
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( 1 − 𝑦 ) ≤ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) |
| 36 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
| 37 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
| 38 |
|
elicopnf |
⊢ ( 2 ∈ ℝ → ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ) ) ) |
| 39 |
37 38
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ) ) |
| 40 |
39
|
simplbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
| 41 |
|
chtcl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( θ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 42 |
40 41
|
syl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( θ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 43 |
|
ppinncl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ) → ( π ‘ 𝑥 ) ∈ ℕ ) |
| 44 |
39 43
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( π ‘ 𝑥 ) ∈ ℕ ) |
| 45 |
44
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( π ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
| 46 |
2
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 47 |
37
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 2 ∈ ℝ ) |
| 48 |
|
1lt2 |
⊢ 1 < 2 |
| 49 |
48
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 1 < 2 ) |
| 50 |
39
|
simprbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 2 ≤ 𝑥 ) |
| 51 |
46 47 40 49 50
|
ltletrd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 1 < 𝑥 ) |
| 52 |
40 51
|
rplogcld |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
| 53 |
45 52
|
rpmulcld |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 54 |
42 53
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 55 |
54
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 56 |
|
lelttr |
⊢ ( ( ( 1 − 𝑦 ) ∈ ℝ ∧ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∧ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 1 − 𝑦 ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 57 |
33 36 55 56
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∧ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 1 − 𝑦 ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 58 |
35 57
|
mpand |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 − 𝑦 ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 59 |
7
|
recnd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∈ ℂ ) |
| 60 |
59
|
sqsqrtd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) = if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) |
| 61 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) = if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) |
| 62 |
61
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 63 |
62
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ↔ ( if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 64 |
42
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( θ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
| 65 |
53
|
rpregt0d |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 66 |
65
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 67 |
|
ltmuldiv |
⊢ ( ( if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ∧ ( θ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ↔ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 68 |
36 64 66 67
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ↔ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 69 |
63 68
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ↔ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 70 |
|
0red |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 71 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
| 72 |
71
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 0 < 2 ) |
| 73 |
70 47 40 72 50
|
ltletrd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 0 < 𝑥 ) |
| 74 |
40 73
|
elrpd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
| 75 |
|
chtleppi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( θ ‘ 𝑥 ) ≤ ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 76 |
74 75
|
syl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( θ ‘ 𝑥 ) ≤ ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 77 |
53
|
rpcnd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
| 78 |
77
|
mulid1d |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) · 1 ) = ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 79 |
76 78
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( θ ‘ 𝑥 ) ≤ ( ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) · 1 ) ) |
| 80 |
42 46 53
|
ledivmuld |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ≤ 1 ↔ ( θ ‘ 𝑥 ) ≤ ( ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) · 1 ) ) ) |
| 81 |
79 80
|
mpbird |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ≤ 1 ) |
| 82 |
54 46 81
|
abssuble0d |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) = ( 1 − ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 83 |
82
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ↔ ( 1 − ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) |
| 84 |
83
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ↔ ( 1 − ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) |
| 85 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 86 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 87 |
|
ltsub23 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 1 − ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ↔ ( 1 − 𝑦 ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 88 |
85 55 86 87
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( 1 − ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ↔ ( 1 − 𝑦 ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 89 |
84 88
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ↔ ( 1 − 𝑦 ) < ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 90 |
58 69 89
|
3imtr4d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ) ) |
| 91 |
90
|
imim2d |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ) → ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ) ) ) |
| 92 |
91
|
ralimdva |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ) ) ) |
| 93 |
92
|
reximdv |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( ( ( √ ‘ if ( ( 1 − 𝑦 ) ≤ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 − 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) < ( θ ‘ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ) ) ) |
| 94 |
32 93
|
mpd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ) ) |
| 95 |
94
|
rgen |
⊢ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ) |
| 96 |
54
|
recnd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) → ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 97 |
96
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ) → ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 98 |
97
|
ralrimiva |
⊢ ( ⊤ → ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 99 |
40
|
ssriv |
⊢ ( 2 [,) +∞ ) ⊆ ℝ |
| 100 |
99
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ( 2 [,) +∞ ) ⊆ ℝ ) |
| 101 |
|
1cnd |
⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ℂ ) |
| 102 |
98 100 101
|
rlim2 |
⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ↦ ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ⇝𝑟 1 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ( 𝑧 ≤ 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − 1 ) ) < 𝑦 ) ) ) |
| 103 |
95 102
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mpbiri |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ↦ ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ⇝𝑟 1 ) |
| 104 |
103
|
mptru |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 2 [,) +∞ ) ↦ ( ( θ ‘ 𝑥 ) / ( ( π ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ⇝𝑟 1 |