Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cmvth.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
cmvth.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
cmvth.lt |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 ) |
4 |
|
cmvth.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
5 |
|
cmvth.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
6 |
|
cmvth.df |
⊢ ( 𝜑 → dom ( ℝ D 𝐹 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
7 |
|
cmvth.dg |
⊢ ( 𝜑 → dom ( ℝ D 𝐺 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
9 |
8
|
subcn |
⊢ − ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
10 |
|
cncff |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
11 |
4 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
12 |
1
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
13 |
2
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
14 |
1 2 3
|
ltled |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
15 |
|
ubicc2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
16 |
12 13 14 15
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
17 |
11 16
|
ffvelcdmd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
18 |
|
lbicc2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
19 |
12 13 14 18
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
20 |
11 19
|
ffvelcdmd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
21 |
17 20
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
23 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
24 |
|
cncff |
⊢ ( 𝐺 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) → 𝐺 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
25 |
5 24
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
26 |
25
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) |
27 |
26
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
28 |
|
ovmpot |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) |
29 |
23 27 28
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) |
30 |
29
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
31 |
30
|
pm5.32da |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
opabbidv |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) } = { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) } ) |
33 |
|
df-mpt |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) = { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) } |
34 |
32 33
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) } = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
35 |
|
df-mpt |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) = { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) } |
36 |
8
|
mpomulcn |
⊢ ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
37 |
1 2
|
iccssred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
38 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
39 |
37 38
|
sstrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
40 |
38
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ ) |
41 |
|
cncfmptc |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
42 |
21 39 40 41
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
43 |
25
|
feqmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) |
44 |
43 5
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
45 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
46 |
45
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
47 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) |
48 |
47
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
49 |
28
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) |
50 |
46 48 49
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) |
51 |
|
remulcl |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
52 |
50 51
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
53 |
8 36 42 44 38 52
|
cncfmpt2ss |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
54 |
35 53
|
eqeltrrid |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) } ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
55 |
34 54
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
56 |
25 16
|
ffvelcdmd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
57 |
25 19
|
ffvelcdmd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
58 |
56 57
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
59 |
58
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
60 |
59
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
61 |
11
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) |
62 |
61
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
63 |
|
ovmpot |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) |
64 |
60 62 63
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) |
65 |
64
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ↔ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
66 |
65
|
pm5.32da |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
67 |
66
|
opabbidv |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) } = { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) } ) |
68 |
|
df-mpt |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) = { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) } |
69 |
67 68
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) } = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
70 |
|
df-mpt |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) = { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) } |
71 |
|
cncfmptc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
72 |
58 39 40 71
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
73 |
11
|
feqmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) |
74 |
73 4
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
75 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
76 |
75
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
77 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) |
78 |
77
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
79 |
63
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) |
80 |
76 78 79
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) |
81 |
|
remulcl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
82 |
80 81
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
83 |
8 36 72 74 38 82
|
cncfmpt2ss |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
84 |
70 83
|
eqeltrrid |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ 𝑤 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ( 𝑢 ∈ ℂ , 𝑣 ∈ ℂ ↦ ( 𝑢 · 𝑣 ) ) ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) } ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
85 |
69 84
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
86 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
87 |
8 9 55 85 38 86
|
cncfmpt2ss |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |
88 |
23 27
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
89 |
59 61
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
90 |
89
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
91 |
88 90
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ ℂ ) |
92 |
8
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
93 |
|
iccntr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
94 |
1 2 93
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
95 |
40 37 91 92 8 94
|
dvmptntr |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
96 |
|
reelprrecn |
⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ } |
97 |
96
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
98 |
|
ioossicc |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) |
99 |
98
|
sseli |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
100 |
99 88
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
101 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ V ) |
102 |
99 27
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
103 |
|
fvexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ∈ V ) |
104 |
43
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐺 ) = ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
105 |
|
dvf |
⊢ ( ℝ D 𝐺 ) : dom ( ℝ D 𝐺 ) ⟶ ℂ |
106 |
7
|
feq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐺 ) : dom ( ℝ D 𝐺 ) ⟶ ℂ ↔ ( ℝ D 𝐺 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) ) |
107 |
105 106
|
mpbii |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐺 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
108 |
107
|
feqmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐺 ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
109 |
40 37 27 92 8 94
|
dvmptntr |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
110 |
104 108 109
|
3eqtr3rd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
111 |
97 102 103 110 22
|
dvmptcmul |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
112 |
99 90
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
113 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ V ) |
114 |
99 62
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
115 |
|
fvexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ∈ V ) |
116 |
73
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
117 |
|
dvf |
⊢ ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℂ |
118 |
6
|
feq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℂ ↔ ( ℝ D 𝐹 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) ) |
119 |
117 118
|
mpbii |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐹 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
120 |
119
|
feqmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐹 ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
121 |
40 37 62 92 8 94
|
dvmptntr |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
122 |
116 120 121
|
3eqtr3rd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
123 |
58
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
124 |
97 114 115 122 123
|
dvmptcmul |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
125 |
97 100 101 111 112 113 124
|
dvmptsub |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
126 |
95 125
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
127 |
126
|
dmeqd |
⊢ ( 𝜑 → dom ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) = dom ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
128 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ V |
129 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
130 |
128 129
|
dmmpti |
⊢ dom ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) |
131 |
127 130
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → dom ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
132 |
17
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
133 |
57
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
134 |
132 133
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
135 |
20
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
136 |
56
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
137 |
135 136
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
138 |
135 133
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
139 |
134 137 138
|
nnncan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
140 |
132 136
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
141 |
140 137 134
|
nnncan1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
142 |
139 141
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
143 |
132 135 133
|
subdird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
144 |
123 135
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
145 |
135 136 133
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
146 |
144 145
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
147 |
143 146
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
148 |
132 135 136
|
subdird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
149 |
123 132
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
150 |
132 136 133
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
151 |
149 150
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
152 |
148 151
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
153 |
142 147 152
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
154 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) |
155 |
154
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) |
156 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) |
157 |
156
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) |
158 |
155 157
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
159 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
160 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ V |
161 |
158 159 160
|
fvmpt3i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
162 |
19 161
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
163 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) |
164 |
163
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) ) |
165 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) |
166 |
165
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) ) |
167 |
164 166
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
168 |
167 159 160
|
fvmpt3i |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
169 |
16 168
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
170 |
153 162 169
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝐵 ) ) |
171 |
1 2 3 87 131 170
|
rolle |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = 0 ) |
172 |
126
|
fveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) |
173 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) |
174 |
173
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
175 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) |
176 |
175
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
177 |
174 176
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
178 |
177 129 128
|
fvmpt3i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
179 |
172 178
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
180 |
179
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = 0 ↔ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = 0 ) ) |
181 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
182 |
107
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
183 |
181 182
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
184 |
123
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
185 |
119
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
186 |
184 185
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
187 |
183 186
|
subeq0ad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = 0 ↔ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
188 |
180 187
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = 0 ↔ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
189 |
188
|
rexbidva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( ℝ D ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = 0 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
190 |
171 189
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |