| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) |
| 2 |
1
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ) |
| 3 |
2
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ) ) |
| 4 |
3
|
3anbi1d |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 5 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑝 = 𝑟 → ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) |
| 6 |
5
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑝 = 𝑟 → ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ) |
| 7 |
6
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑝 = 𝑟 → ( 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ) ) |
| 8 |
7
|
3anbi2d |
⊢ ( 𝑝 = 𝑟 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 9 |
4 8
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 10 |
9
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 11 |
|
id |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → 𝑘 = 𝑐 ) |
| 12 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑙 − 𝑘 ) = ( 𝑙 − 𝑐 ) ) |
| 13 |
12
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) |
| 14 |
11 13
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 15 |
14
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ) ) |
| 16 |
12
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) |
| 17 |
16
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 18 |
17
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 19 |
15 18
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 20 |
19
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 21 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑙 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
| 22 |
21
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
| 23 |
22
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 24 |
23
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) ) |
| 25 |
21
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
| 26 |
25
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 27 |
26
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 28 |
24 27
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 29 |
28
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 30 |
20 29
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑟 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 31 |
10 30
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 32 |
31
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 33 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( 𝑚 − 𝑞 ) = ( 𝑚 − 𝑓 ) ) |
| 34 |
33
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) |
| 35 |
34
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 36 |
35
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 37 |
3
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑜 = 𝑡 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 38 |
36 37
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 39 |
38
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 40 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑦 − 𝑘 ) = ( 𝑦 − 𝑐 ) ) |
| 41 |
40
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) ) |
| 42 |
41
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 43 |
42
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 44 |
43
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 45 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( 𝑚 − 𝑓 ) = ( 𝑒 − 𝑓 ) ) |
| 46 |
45
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) |
| 47 |
46
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 48 |
47
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 49 |
48
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 50 |
44 49
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 51 |
39 50
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 52 |
51
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 53 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( 𝑚 − 𝑞 ) = ( 𝑒 − 𝑞 ) ) |
| 54 |
53
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ) |
| 55 |
54
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ) ) |
| 56 |
55
|
3anbi3d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑒 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ) ) ) |
| 57 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( 𝑒 − 𝑞 ) = ( 𝑒 − 𝑓 ) ) |
| 58 |
57
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) |
| 59 |
58
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 60 |
59
|
3anbi3d |
⊢ ( 𝑞 = 𝑓 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 61 |
56 60
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 62 |
61
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 63 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( 𝑗 − 𝑘 ) = ( 𝑗 − 𝑐 ) ) |
| 64 |
63
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ) |
| 65 |
64
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 66 |
65
|
3anbi2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 67 |
66
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑐 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 68 |
|
neeq2 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑖 ≠ 𝑙 ↔ 𝑖 ≠ 𝑑 ) ) |
| 69 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( 𝑦 − 𝑙 ) = ( 𝑦 − 𝑑 ) ) |
| 70 |
69
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) ) |
| 71 |
70
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 72 |
68 71
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 73 |
72
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑙 = 𝑑 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 74 |
67 73
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 75 |
62 74
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 76 |
75
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 77 |
32 52 76
|
3orbi123i |
⊢ ( ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 78 |
|
id |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → 𝑖 = 𝑎 ) |
| 79 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑗 − 𝑖 ) = ( 𝑗 − 𝑎 ) ) |
| 80 |
79
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) |
| 81 |
78 80
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ) |
| 82 |
81
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
| 83 |
79
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) |
| 84 |
83
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
| 85 |
84
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 86 |
85
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 87 |
82 86
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 88 |
87
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 89 |
88
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 90 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑗 − 𝑎 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
| 91 |
90
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) |
| 92 |
91
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) |
| 93 |
92
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ↔ 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
| 94 |
90
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) = ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) |
| 95 |
94
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
| 96 |
95
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 97 |
96
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 98 |
93 97
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 99 |
98
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 100 |
99
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 101 |
89 100
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 102 |
82
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 103 |
102
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 104 |
103
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 105 |
93
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 106 |
105
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 107 |
106
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 108 |
104 107
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 109 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑖 ≠ 𝑑 ↔ 𝑎 ≠ 𝑑 ) ) |
| 110 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑦 − 𝑖 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) |
| 111 |
110
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) |
| 112 |
111
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 113 |
109 112
|
3anbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 114 |
113
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 115 |
114
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 116 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( 𝑗 − 𝑐 ) = ( 𝑏 − 𝑐 ) ) |
| 117 |
116
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) |
| 118 |
117
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 119 |
118
|
3anbi2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 120 |
119
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 121 |
120
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑗 = 𝑏 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 122 |
115 121
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 123 |
101 108 122
|
3orbi123i |
⊢ ( ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑡 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 124 |
77 123
|
bitri |
⊢ ( ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 125 |
124
|
rabbii |
⊢ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } = { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } |
| 126 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
| 127 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) ) |
| 128 |
|
biidd |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 129 |
126 127 128
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 130 |
129
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 131 |
130
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 132 |
131
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 133 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 − 𝑐 ) = ( 𝑥 − 𝑐 ) ) |
| 134 |
133
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) ) |
| 135 |
134
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 136 |
126 135
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 137 |
136
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 138 |
137
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 139 |
138
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 140 |
|
biidd |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑎 ≠ 𝑑 ↔ 𝑎 ≠ 𝑑 ) ) |
| 141 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 − 𝑎 ) = ( 𝑥 − 𝑎 ) ) |
| 142 |
141
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) ) |
| 143 |
142
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) ) |
| 144 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) |
| 145 |
144
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) |
| 146 |
145
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) |
| 147 |
140 143 146
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 148 |
147
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 149 |
148
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 150 |
149
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 151 |
132 139 150
|
3orbi123d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 152 |
151
|
cbvrabv |
⊢ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } |
| 153 |
125 152
|
eqtri |
⊢ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } |
| 154 |
153
|
mpteq2i |
⊢ ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) = ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
| 155 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑎 ∈ 𝑧 ↔ 𝑎 ∈ 𝑠 ) ) |
| 156 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑏 ∈ 𝑧 ↔ 𝑏 ∈ 𝑠 ) ) |
| 157 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑐 ∈ 𝑧 ↔ 𝑐 ∈ 𝑠 ) ) |
| 158 |
|
rexeq |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 159 |
157 158
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑐 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) ) |
| 160 |
159
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 161 |
156 160
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑏 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) ) |
| 162 |
161
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 163 |
155 162
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑎 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) ) |
| 164 |
163
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ) |
| 165 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑒 ∈ 𝑧 ↔ 𝑒 ∈ 𝑠 ) ) |
| 166 |
|
rexeq |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 167 |
165 166
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑒 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 168 |
167
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 169 |
157 168
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑐 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 170 |
169
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 171 |
156 170
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑏 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 172 |
171
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 173 |
155 172
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑎 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 174 |
173
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 175 |
|
elequ2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑑 ∈ 𝑧 ↔ 𝑑 ∈ 𝑠 ) ) |
| 176 |
|
rexeq |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 177 |
165 176
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑒 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 178 |
177
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 179 |
175 178
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑑 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑑 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 180 |
179
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 181 |
157 180
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑐 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 182 |
181
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 183 |
156 182
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑏 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 184 |
183
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 185 |
155 184
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑎 ∈ 𝑧 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑠 ∧ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 186 |
185
|
rexbidv2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) |
| 187 |
164 174 186
|
3orbi123d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
| 188 |
187
|
rabbidv |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
| 189 |
188
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑧 ∃ 𝑏 ∈ 𝑧 ∃ 𝑐 ∈ 𝑧 ∃ 𝑑 ∈ 𝑧 ∃ 𝑒 ∈ 𝑧 ∃ 𝑓 ∈ 𝑧 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) = ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
| 190 |
154 189
|
eqtri |
⊢ ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) = ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
| 191 |
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rdgeq1 |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) = ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) → rec ( ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) ) |
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190 191
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ax-mp |
⊢ rec ( ( 𝑧 ∈ V ↦ { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ∃ 𝑝 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑘 + ( 𝑝 · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑗 − 𝑖 ) ) · ( 𝑙 − 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ∃ 𝑜 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑖 + ( 𝑜 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑘 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ∨ ∃ 𝑖 ∈ 𝑧 ∃ 𝑗 ∈ 𝑧 ∃ 𝑘 ∈ 𝑧 ∃ 𝑙 ∈ 𝑧 ∃ 𝑚 ∈ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑧 ( 𝑖 ≠ 𝑙 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑚 − 𝑞 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) |