Theorem constrconj

Description: If a point X of the complex plane is constructible, so is its conjugate ( *X ) . (Proposed by Saveliy Skresanov, 25-Jun-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	constr0.1	⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
	constrconj.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ On )
	constrconj.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
Assertion	constrconj	⊢ ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constr0.1	⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
2		constrconj.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ On )
3		constrconj.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
4		fveq2	⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
5	4	eleq2d	⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ) )
6	4 5	raleqbidv	⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ) )
7		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
8	7	eleq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
9	7 8	raleqbidv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
10		fveq2	⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
11	10	eleq2d	⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) )
12	10 11	raleqbidv	⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) )
13		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
14	13	eleq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
15	13 14	raleqbidv	⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
16		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 = 0 )
17	16	fveq2d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 0 ) )
18		cj0	⊢ ( ∗ ‘ 0 ) = 0
19	17 18	eqtrdi	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = 0 )
20		0elpr01	⊢ 0 ∈ { 0 , 1 }
21	20	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ∈ { 0 , 1 } )
22	19 21	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 , 1 } )
23	1	constr0	⊢ ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 }
24	23	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 } )
25	22 24	eleqtrrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
26		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → 𝑥 = 1 )
27	26	fveq2d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 1 ) )
28		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
29		cjre	⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( ∗ ‘ 1 ) = 1 )
30	28 29	ax-mp	⊢ ( ∗ ‘ 1 ) = 1
31	27 30	eqtrdi	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = 1 )
32		1elpr01	⊢ 1 ∈ { 0 , 1 }
33	32	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → 1 ∈ { 0 , 1 } )
34	31 33	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 , 1 } )
35	23	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 } )
36	34 35	eleqtrrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
37	23	eleq2i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ↔ 𝑥 ∈ { 0 , 1 } )
38	37	biimpi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) → 𝑥 ∈ { 0 , 1 } )
39		elpri	⊢ ( 𝑥 ∈ { 0 , 1 } → ( 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1 ) )
40	38 39	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) → ( 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1 ) )
41	25 36 40	mpjaodan	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
42	41	rgen	⊢ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ )
43		simpl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → 𝑛 ∈ On )
44		eqid	⊢ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑛 )
45	1 43 44	constrsuc	⊢ ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) )
46	45	biimpa	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) )
47	46	simpld	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
48	47	cjcld	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
49	46	simprd	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
50		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑎 ) )
51	50	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
52		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
53		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
54	51 52 53	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
55		id	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) )
56		oveq2	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ℎ − 𝑔 ) = ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
57	56	oveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) = ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
58	55 57	oveq12d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
59	58	eqeq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) )
60	56	fveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) = ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
61	60	oveq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) )
62	61	fveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) )
63	62	neeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
64	59 63	3anbi13d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
65	64	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
66	65	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
67	66	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
68	67	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
69		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑏 ) )
70	69	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
71		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
72		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
73	70 71 72	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
74		oveq1	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
75	74	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
76	75	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
77	76	eqeq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) )
78	74	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
79	78	oveq1d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) )
80	79	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) )
81	80	neeq1d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
82	77 81	3anbi13d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
83	82	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
84	83	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
85	84	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ∧ ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
86		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑐 ) )
87	86	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
88		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
89		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
90	87 88 89	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
91		id	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) )
92		oveq2	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( 𝑗 − 𝑖 ) = ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
93	92	oveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
94	91 93	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
95	94	eqeq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) )
96	92	oveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
97	96	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
98	97	neeq1d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
99	95 98	3anbi23d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
100	99	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
101	100	2rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
102	101	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
103		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑑 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑑 ) )
104	103	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑑 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
105		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
106		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
107	104 105 106	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
108		oveq1	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
109	108	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
110	109	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
111	110	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) )
112	108	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
113	112	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
114	113	neeq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
115	111 114	3anbi23d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
116	115	2rexbidv	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
117	116	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
118		simpr1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
119	118	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ∗ ‘ ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
120		id	⊢ ( 𝑛 ∈ On → 𝑛 ∈ On )
121	1 120	constrsscn	⊢ ( 𝑛 ∈ On → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
122	121	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
123		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
124	122 123	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
125		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
126	125	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑡 ∈ ℂ )
127		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
128	122 127	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
129	128 124	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
130	126 129	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
131	124 130	cjaddd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
132	126 129	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑡 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
133	125	cjred	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑡 ) = 𝑡 )
134	128 124	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
135	133 134	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑡 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
136	132 135	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
137	136	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
138	119 131 137	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
139		simpr2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
140	139	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ∗ ‘ ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
141		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
142	122 141	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
143		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
144	143	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
145		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
146	122 145	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ℂ )
147	146 142	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℂ )
148	144 147	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ∈ ℂ )
149	142 148	cjaddd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
150	144 147	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑟 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
151	143	cjred	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑟 ) = 𝑟 )
152	146 142	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
153	151 152	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑟 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
154	150 153	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
155	154	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
156	140 149 155	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
157	129	cjcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
158	157	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
159	129	cjcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
160	159 147	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
161	128	cjcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ℂ )
162	124	cjcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ℂ )
163	161 162	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) − ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
164	128	cjcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) = 𝑏 )
165	124	cjcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) = 𝑎 )
166	164 165	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) − ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
167	163 166	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
168	152	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) = ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
169	167 168	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
170	158 160 169	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
171	170	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
172	159 147	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ∈ ℂ )
173	172	imcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) = - ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
174	171 173	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) = - ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
175		simpr3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 )
176	172	imcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∈ ℝ )
177	176	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∈ ℂ )
178	177	negne0bd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ - ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
179	175 178	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → - ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 )
180	174 179	eqnetrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 )
181	138 156 180	3jca	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
182	181	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
183	182	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
184	183	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
185	184	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
186	107 117 185	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
187	186	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
188	90 102 187	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
189	188	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
190	73 85 189	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
191	190	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
192	54 68 191	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
193	192	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
194		id	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → 𝑎 = 𝑔 )
195		oveq2	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( 𝑏 − 𝑔 ) )
196	195	oveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) )
197	194 196	oveq12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) )
198	197	eqeq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ) )
199	195	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) )
200	199	oveq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
201	200	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
202	201	neeq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
203	198 202	3anbi13d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
204	203	rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
205	204	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
206	205	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
207	206	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
208		oveq1	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( 𝑏 − 𝑔 ) = ( ℎ − 𝑔 ) )
209	208	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) = ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) )
210	209	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) )
211	210	eqeq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ) )
212	208	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) = ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) )
213	212	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
214	213	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
215	214	neeq1d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
216	211 215	3anbi13d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
217	216	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
218	217	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
219	218	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
220		id	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → 𝑐 = 𝑖 )
221		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝑖 ) )
222	221	oveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) )
223	220 222	oveq12d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) )
224	223	eqeq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ) )
225	221	oveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) )
226	225	fveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) )
227	226	neeq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
228	224 227	3anbi23d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
229	228	rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
230	229	2rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
231	230	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
232		oveq1	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( 𝑑 − 𝑖 ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) )
233	232	oveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) )
234	233	oveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) )
235	234	eqeq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ) )
236	232	oveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) )
237	236	fveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) )
238	237	neeq1d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
239	235 238	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
240	239	2rexbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
241	240	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
242	241	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
243	231 242	bitri	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
244	243	rexbii	⊢ ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
245	219 244	bitri	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
246	245	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
247	207 246	bitri	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
248	193 247	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
249	248	ex	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
250		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
251		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
252	51 250 251	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
253	59	anbi1d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
254	253	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
255	254	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
256	255	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
257	256	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
258		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
259		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
260	70 258 259	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
261	77	anbi1d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
262	261	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
263	262	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
264	263	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
265		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
266		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
267	87 265 266	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
268		oveq2	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
269	268	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
270	269	eqeq1d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
271	270	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
272	271	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
273	272	2rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
274	273	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
275		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑒 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑒 ) )
276	275	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑒 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
277		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
278		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
279	276 277 278	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
280		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( 𝑘 − 𝑙 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) )
281	280	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) )
282	281	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) )
283	282	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ) )
284	283	2rexbidv	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ) )
285	284	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) ) → ( ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ) )
286		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑓 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑓 ) )
287	286	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑓 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
288		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
289		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
290	287 288 289	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
291		oveq2	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) )
292	291	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )
293	292	eqeq2d	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
294	293	anbi2d	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
295	294	rexbidv	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
296	295	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
297		simprl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
298	297	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ∗ ‘ ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
299	121	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
300		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
301	299 300	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
302		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
303	302	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℂ )
304		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
305	299 304	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
306	305 301	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
307	303 306	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
308	301 307	cjaddd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
309	303 306	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑡 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
310	302	cjred	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑡 ) = 𝑡 )
311	305 301	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
312	310 311	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑡 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
313	309 312	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
314	313	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
315	298 308 314	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
316		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
317	47	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
318		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
319	299 318	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
320	317 319	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑐 ) ∈ ℂ )
321	320	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) )
322		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
323	299 322	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ )
324		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
325	299 324	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ )
326	323 325	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒 − 𝑓 ) ∈ ℂ )
327	326	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
328	316 321 327	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
329	317 319	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
330	329	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
331	323 325	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) )
332	331	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )
333	328 330 332	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )
334	315 333	jca	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
335	334	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
336	335	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
337	336	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
338	290 296 337	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) )
339	338	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) )
340	279 285 339	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
341	340	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
342	267 274 341	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
343	342	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
344	260 264 343	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
345	344	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
346	252 257 345	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
347	346	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
348	198	anbi1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
349	348	rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
350	349	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
351	350	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
352	351	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
353	211	anbi1d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
354	353	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
355	354	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
356	355	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
357		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) )
358	357	fveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) )
359	358	eqeq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
360	359	anbi2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
361	360	rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
362	361	2rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
363	362	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
364		oveq1	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( 𝑒 − 𝑓 ) = ( 𝑘 − 𝑓 ) )
365	364	fveq2d	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) )
366	365	eqeq2d	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) )
367	366	anbi2d	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ) )
368	367	2rexbidv	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ) )
369	368	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) )
370		oveq2	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( 𝑘 − 𝑓 ) = ( 𝑘 − 𝑙 ) )
371	370	fveq2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) )
372	371	eqeq2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
373	372	anbi2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
374	373	rexbidv	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
375	374	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
376	375	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
377	369 376	bitri	⊢ ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
378	377	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
379	363 378	bitri	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
380	379	rexbii	⊢ ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
381	356 380	bitri	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
382	381	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
383	352 382	bitri	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
384	347 383	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
385	384	ex	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
386		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
387		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
388	51 386 387	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
389		neeq1	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( 𝑔 ≠ 𝑗 ↔ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ) )
390		oveq2	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
391	390	fveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
392	391	eqeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ) )
393	389 392	3anbi12d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
394	393	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
395	394	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
396	395	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
397	396	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
398		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
399		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
400	70 398 399	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
401		oveq1	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ℎ − 𝑖 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) )
402	401	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) )
403	402	eqeq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ) )
404	403	3anbi2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
405	404	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
406	405	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
407	406	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
408		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
409		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
410	87 408 409	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
411		oveq2	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
412	411	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
413	412	eqeq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
414	413	3anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
415	414	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
416	415	2rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
417	416	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
418		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
419		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
420	104 418 419	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
421		neeq2	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ↔ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) )
422		oveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) )
423	422	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) )
424	423	eqeq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
425	421 424	3anbi13d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
426	425	2rexbidv	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
427	426	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
428	121	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
429		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
430	428 429	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑎 ∈ ℂ )
431		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
432	428 431	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ℂ )
433		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑎 ≠ 𝑑 )
434		cj11	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) = ( ∗ ‘ 𝑑 ) ↔ 𝑎 = 𝑑 ) )
435	434	necon3bid	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ↔ 𝑎 ≠ 𝑑 ) )
436	435	biimpar	⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) )
437	430 432 433 436	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) )
438	437	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑎 ≠ 𝑑 → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) )
439		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) )
440	47	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
441	121	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
442		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
443	441 442	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
444	440 443	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
445	444	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) )
446		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
447	441 446	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
448		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
449	441 448	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
450	447 449	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑐 ) ∈ ℂ )
451	450	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) )
452	439 445 451	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) )
453	440 443	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
454	453	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
455	447 449	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
456	455	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
457	452 454 456	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
458	457	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
459	47	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
460	121	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
461		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
462	460 461	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑑 ∈ ℂ )
463	459 462	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑑 ) ∈ ℂ )
464	463	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) )
465	459 462	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) )
466	465	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) )
467		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
468	464 466 467	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
469	468	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
470	438 458 469	3anim123d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
471	470	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
472	471	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
473	472	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
474	420 427 473	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
475	474	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
476	410 417 475	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
477	476	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
478	400 407 477	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
479	478	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
480	388 397 479	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
481	480	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
482		neeq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( 𝑎 ≠ 𝑑 ↔ 𝑔 ≠ 𝑑 ) )
483		oveq2	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) )
484	483	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) )
485	484	eqeq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) )
486	482 485	3anbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
487	486	rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
488	487	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
489	488	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
490	489	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
491		oveq1	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( 𝑏 − 𝑐 ) = ( ℎ − 𝑐 ) )
492	491	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) )
493	492	eqeq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ) )
494	493	3anbi2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
495	494	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
496	495	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
497	496	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
498		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ℎ − 𝑐 ) = ( ℎ − 𝑖 ) )
499	498	fveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) )
500	499	eqeq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ) )
501	500	3anbi2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
502	501	rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
503	502	2rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
504	503	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
505		neeq2	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( 𝑔 ≠ 𝑑 ↔ 𝑔 ≠ 𝑗 ) )
506		oveq2	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) )
507	506	fveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) )
508	507	eqeq1d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
509	505 508	3anbi13d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
510	509	2rexbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
511	510	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
512	511	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
513	504 512	bitri	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
514	513	rexbii	⊢ ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
515	497 514	bitri	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
516	515	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
517	490 516	bitri	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
518	481 517	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
519	518	ex	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
520	249 385 519	3orim123d	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) )
521	49 520	mpd	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
522	48 521	jca	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) )
523	43	adantr	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → 𝑛 ∈ On )
524	1 523 44	constrsuc	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) )
525	522 524	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
526	525	ralrimiva	⊢ ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
527		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑦 ) )
528	527	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) )
529	528	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
530	526 529	sylibr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
531	530	ex	⊢ ( 𝑛 ∈ On → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) )
532		simpr	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
533		vex	⊢ 𝑚 ∈ V
534	533	a1i	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → 𝑚 ∈ V )
535		simpll	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → Lim 𝑚 )
536	1 534 535	constrlim	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
537	532 536	eleqtrd	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
538		eliun	⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
539	537 538	sylib	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
540	527	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
541		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
542	541	eleq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
543	541 542	raleqbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
544		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
545		simplr	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑚 )
546	543 544 545	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
547		simpr	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
548	540 546 547	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
549	548	ex	⊢ ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
550	549	reximdva	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
551	539 550	mpd	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
552		eliun	⊢ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
553	551 552	sylibr	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
554	553 536	eleqtrrd	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
555	554	ralrimiva	⊢ ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
556	527	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) )
557	556	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
558	555 557	sylibr	⊢ ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
559	558	ex	⊢ ( Lim 𝑚 → ( ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) )
560	6 9 12 15 42 531 559	tfinds	⊢ ( 𝑁 ∈ On → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
561	2 560	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
562		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑋 ) )
563	562	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
564	563	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
565	3 564	rspcdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) → ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
566	561 565	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )