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Theorem constrfin

Description: Each step of the construction of constructible numbers is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025)

Ref Expression
Hypotheses constr0.1 ⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
constrfin.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ω )
Assertion constrfin ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∈ Fin )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 constr0.1 ⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
2 constrfin.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ω )
3 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
4 3 eleq1d ⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∈ Fin ) )
5 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
6 5 eleq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) )
7 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
8 7 eleq1d ⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin ) )
9 fveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
10 9 eleq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∈ Fin ) )
11 1 constr0 ⊢ ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 }
12 prfi ⊢ { 0 , 1 } ∈ Fin
13 11 12 eqeltri ⊢ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∈ Fin
14 nfv ⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin )
15 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 )
16 nfrab1 ⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) }
17 nnon ⊢ ( 𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On )
18 17 adantr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → 𝑛 ∈ On )
19 eqid ⊢ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑛 )
20 1 18 19 constrsuc ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) )
21 rabid ⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) )
22 20 21 bitr4di ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) )
23 14 15 16 22 eqrd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } )
24 3unrab ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) }
25 23 24 eqtr4di ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) = ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) )
26 simpr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin )
27 26 adantr ⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin )
28 27 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin )
29 28 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin )
30 snfi ⊢ { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) } ∈ Fin
31 30 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) } ∈ Fin )
32 1 17 constrsscn ⊢ ( 𝑛 ∈ ω → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
33 32 ad9antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
34 simp-8r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
35 simp-7r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
36 simp-6r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
37 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
38 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
39 simplr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
40 simpr1 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
41 simpr2 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
42 simpr3 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 )
43 eqid ⊢ ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
44 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 constrrtll ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
45 44 r19.29an ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
46 45 r19.29an ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
47 46 ex ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
48 47 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
49 rabsssn ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ⊆ { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
50 48 49 sylibr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ⊆ { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) } )
51 31 50 ssfid ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
52 29 51 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
53 28 52 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
54 27 53 rabrexfi ⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
55 26 54 rabrexfi ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
56 29 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin )
57 snfi ⊢ { 𝑎 } ∈ Fin
58 57 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑎 } ∈ Fin )
59 32 ad10antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
60 simp-9r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
61 simp-8r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
62 simp-7r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
63 simp-6r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
64 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
65 simplr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
66 simprl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
67 simprr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
68 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
69 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 constrrtlc2 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 )
70 69 r19.29an ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 )
71 70 ex ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) )
72 71 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) )
73 rabsssn ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { 𝑎 } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) )
74 72 73 sylibr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { 𝑎 } )
75 58 74 ssfid ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
76 prfi ⊢ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin
77 76 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin )
78 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
79 1cnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
80 ax-1ne0 ⊢ 1 ≠ 0
81 80 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 1 ≠ 0 )
82 32 ad10antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
83 simp-9r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
84 82 83 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
85 84 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ℂ )
86 simp-8r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
87 82 86 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
88 87 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ℂ )
89 88 85 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
90 87 84 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
91 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
92 91 necomd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ≠ 𝑎 )
93 87 84 92 subne0d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ≠ 0 )
94 89 90 93 divcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
95 84 94 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
96 85 95 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ )
97 simp-7r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
98 82 97 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
99 98 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ )
100 96 99 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ∈ ℂ )
101 98 94 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
102 100 101 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ )
103 simp-6r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
104 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
105 simplr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
106 simprl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
107 simprr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
108 eqid ⊢ ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) )
109 eqid ⊢ ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
110 eqid ⊢ ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
111 82 83 86 97 103 104 105 106 107 108 109 110 91 constrrtlc1 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 ∧ ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ≠ 0 ) )
112 111 simprd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ≠ 0 )
113 102 94 112 divcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
114 98 100 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ ℂ )
115 82 103 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ )
116 82 104 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ )
117 115 116 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒 − 𝑓 ) ∈ ℂ )
118 115 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ℂ )
119 116 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ℂ )
120 118 119 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ∈ ℂ )
121 117 120 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ∈ ℂ )
122 114 121 addcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℂ )
123 122 negcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℂ )
124 123 94 112 divcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
125 78 sqcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
126 125 mullidd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) = ( 𝑥 ↑ 2 ) )
127 126 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) )
128 111 simpld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
129 127 128 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
130 78 79 81 113 124 129 quad3d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) )
131 130 r19.29an ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) )
132 131 ex ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
133 132 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
134 rabsspr ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
135 133 134 sylibr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } )
136 77 135 ssfid ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
137 exmidne ⊢ ( 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏 )
138 137 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏 ) )
139 75 136 138 mpjaodan ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
140 56 139 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
141 29 140 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
142 28 141 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
143 27 142 rabrexfi ⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
144 26 143 rabrexfi ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
145 55 144 unfid ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∈ Fin )
146 29 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin )
147 146 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin )
148 prfi ⊢ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin
149 148 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin )
150 simplr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
151 1cnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
152 80 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 1 ≠ 0 )
153 32 ad9antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
154 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
155 153 154 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ )
156 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
157 153 156 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ )
158 155 157 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒 − 𝑓 ) ∈ ℂ )
159 158 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ∈ ℂ )
160 158 159 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∈ ℂ )
161 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
162 153 161 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℂ )
163 162 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ℂ )
164 simp-8r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
165 153 164 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
166 162 165 addcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 + 𝑎 ) ∈ ℂ )
167 163 166 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
168 160 167 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
169 simp-7r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
170 153 169 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
171 simp-6r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
172 153 171 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
173 170 172 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑐 ) ∈ ℂ )
174 173 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∈ ℂ )
175 173 174 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) ∈ ℂ )
176 165 cjcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ℂ )
177 176 166 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
178 175 177 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
179 168 178 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ )
180 163 176 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
181 162 165 cjsubd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
182 162 165 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
183 simpr1 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝑑 )
184 183 necomd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ≠ 𝑎 )
185 162 165 184 subne0d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 − 𝑎 ) ≠ 0 )
186 182 185 cjne0d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑎 ) ) ≠ 0 )
187 181 186 eqnetrrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ≠ 0 )
188 179 180 187 divcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
189 162 165 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 · 𝑎 ) ∈ ℂ )
190 176 189 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
191 175 162 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ∈ ℂ )
192 190 191 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) ∈ ℂ )
193 163 189 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
194 160 165 mulcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ∈ ℂ )
195 193 194 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
196 192 195 subcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
197 196 180 187 divcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
198 197 negcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
199 150 sqcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
200 199 mullidd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) = ( 𝑥 ↑ 2 ) )
201 200 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) )
202 simpr2 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) )
203 simpr3 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
204 eqid ⊢ ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) )
205 eqid ⊢ ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) = ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
206 eqid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
207 eqid ⊢ - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
208 153 164 169 171 161 154 156 150 183 202 203 204 205 206 207 constrrtcc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
209 201 208 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
210 150 151 152 188 198 209 quad3d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) )
211 210 ex ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
212 211 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
213 rabsspr ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
214 212 213 sylibr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } )
215 149 214 ssfid ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
216 147 215 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
217 146 216 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
218 29 217 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
219 28 218 rabrexfi ⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
220 27 219 rabrexfi ⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
221 26 220 rabrexfi ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
222 145 221 unfid ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∈ Fin )
223 25 222 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin )
224 223 ex ⊢ ( 𝑛 ∈ ω → ( ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin ) )
225 4 6 8 10 13 224 finds ⊢ ( 𝑁 ∈ ω → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∈ Fin )
226 2 225 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∈ Fin )