Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2t1e2 |
⊢ ( 2 · 1 ) = 2 |
2 |
|
df-2 |
⊢ 2 = ( 1 + 1 ) |
3 |
1 2
|
eqtr2i |
⊢ ( 1 + 1 ) = ( 2 · 1 ) |
4 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
5 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
6 |
|
picn |
⊢ π ∈ ℂ |
7 |
|
mul12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) = ( 2 · ( 𝐾 · π ) ) ) |
8 |
5 6 7
|
mp3an23 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℂ → ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) = ( 2 · ( 𝐾 · π ) ) ) |
9 |
4 8
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) = ( 2 · ( 𝐾 · π ) ) ) |
10 |
9
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( cos ‘ ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = ( cos ‘ ( 2 · ( 𝐾 · π ) ) ) ) |
11 |
|
cos2kpi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( cos ‘ ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = 1 ) |
12 |
|
zre |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ ) |
13 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
14 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( 𝐾 · π ) ∈ ℝ ) |
15 |
12 13 14
|
sylancl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 · π ) ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
recnd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 · π ) ∈ ℂ ) |
17 |
|
cos2t |
⊢ ( ( 𝐾 · π ) ∈ ℂ → ( cos ‘ ( 2 · ( 𝐾 · π ) ) ) = ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( cos ‘ ( 2 · ( 𝐾 · π ) ) ) = ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
19 |
10 11 18
|
3eqtr3rd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) = 1 ) |
20 |
15
|
recoscld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
recnd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ∈ ℂ ) |
22 |
21
|
sqcld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
23 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
24 |
5 22 23
|
sylancr |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
25 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
26 |
|
subadd |
⊢ ( ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) = 1 ↔ ( 1 + 1 ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
27 |
25 25 26
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ → ( ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) = 1 ↔ ( 1 + 1 ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
28 |
24 27
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) = 1 ↔ ( 1 + 1 ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
29 |
19 28
|
mpbid |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 1 + 1 ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) ) |
30 |
3 29
|
syl5reqr |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · 1 ) ) |
31 |
|
2cnne0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) |
32 |
|
mulcan |
⊢ ( ( ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · 1 ) ↔ ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) = 1 ) ) |
33 |
25 31 32
|
mp3an23 |
⊢ ( ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ → ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · 1 ) ↔ ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) = 1 ) ) |
34 |
22 33
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · 1 ) ↔ ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) = 1 ) ) |
35 |
30 34
|
mpbid |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) = 1 ) |
36 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
37 |
35 36
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
38 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
39 |
|
sqabs |
⊢ ( ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ↔ ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ) = ( abs ‘ 1 ) ) ) |
40 |
20 38 39
|
sylancl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ↔ ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ) = ( abs ‘ 1 ) ) ) |
41 |
37 40
|
mpbid |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ) = ( abs ‘ 1 ) ) |
42 |
|
abs1 |
⊢ ( abs ‘ 1 ) = 1 |
43 |
41 42
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝐾 · π ) ) ) = 1 ) |