Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cramerimp.a |
โข ๐ด = ( ๐ Mat ๐
) |
2 |
|
cramerimp.b |
โข ๐ต = ( Base โ ๐ด ) |
3 |
|
cramerimp.v |
โข ๐ = ( ( Base โ ๐
) โm ๐ ) |
4 |
|
cramerimp.e |
โข ๐ธ = ( ( ( 1r โ ๐ด ) ( ๐ matRepV ๐
) ๐ ) โ ๐ผ ) |
5 |
|
cramerimp.h |
โข ๐ป = ( ( ๐ ( ๐ matRepV ๐
) ๐ ) โ ๐ผ ) |
6 |
|
cramerimp.x |
โข ยท = ( ๐
maVecMul โจ ๐ , ๐ โฉ ) |
7 |
|
cramerimp.d |
โข ๐ท = ( ๐ maDet ๐
) |
8 |
|
cramerimp.t |
โข โ = ( .r โ ๐
) |
9 |
|
simpl |
โข ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โ ๐
โ CRing ) |
10 |
1 2
|
matrcl |
โข ( ๐ โ ๐ต โ ( ๐ โ Fin โง ๐
โ V ) ) |
11 |
10
|
simpld |
โข ( ๐ โ ๐ต โ ๐ โ Fin ) |
12 |
11
|
adantr |
โข ( ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ Fin ) |
13 |
9 12
|
anim12ci |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing ) ) |
14 |
13
|
3adant3 |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing ) ) |
15 |
|
eqid |
โข ( ๐
maMul โจ ๐ , ๐ , ๐ โฉ ) = ( ๐
maMul โจ ๐ , ๐ , ๐ โฉ ) |
16 |
1 15
|
matmulr |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐
โ CRing ) โ ( ๐
maMul โจ ๐ , ๐ , ๐ โฉ ) = ( .r โ ๐ด ) ) |
17 |
14 16
|
syl |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐
maMul โจ ๐ , ๐ , ๐ โฉ ) = ( .r โ ๐ด ) ) |
18 |
17
|
oveqd |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐ ( ๐
maMul โจ ๐ , ๐ , ๐ โฉ ) ๐ธ ) = ( ๐ ( .r โ ๐ด ) ๐ธ ) ) |
19 |
18
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐ท โ ( ๐ ( ๐
maMul โจ ๐ , ๐ , ๐ โฉ ) ๐ธ ) ) = ( ๐ท โ ( ๐ ( .r โ ๐ด ) ๐ธ ) ) ) |
20 |
1 2 3 4 5 6 15
|
cramerimplem2 |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐ ( ๐
maMul โจ ๐ , ๐ , ๐ โฉ ) ๐ธ ) = ๐ป ) |
21 |
20
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐ท โ ( ๐ ( ๐
maMul โจ ๐ , ๐ , ๐ โฉ ) ๐ธ ) ) = ( ๐ท โ ๐ป ) ) |
22 |
|
simp1l |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ๐
โ CRing ) |
23 |
|
simp2l |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ๐ โ ๐ต ) |
24 |
|
crngring |
โข ( ๐
โ CRing โ ๐
โ Ring ) |
25 |
24
|
adantr |
โข ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โ ๐
โ Ring ) |
26 |
25 12
|
anim12i |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) ) โ ( ๐
โ Ring โง ๐ โ Fin ) ) |
27 |
26
|
3adant3 |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐
โ Ring โง ๐ โ Fin ) ) |
28 |
|
ne0i |
โข ( ๐ผ โ ๐ โ ๐ โ โ
) |
29 |
24 28
|
anim12ci |
โข ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โ ( ๐ โ โ
โง ๐
โ Ring ) ) |
30 |
1 2 3 6
|
slesolvec |
โข ( ( ( ๐ โ โ
โง ๐
โ Ring ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ โ ๐ โ ๐ ) ) |
31 |
29 30
|
sylan |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ โ ๐ โ ๐ ) ) |
32 |
31
|
3impia |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ๐ โ ๐ ) |
33 |
|
simp1r |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ๐ผ โ ๐ ) |
34 |
|
eqid |
โข ( 1r โ ๐ด ) = ( 1r โ ๐ด ) |
35 |
1 2 3 34
|
ma1repvcl |
โข ( ( ( ๐
โ Ring โง ๐ โ Fin ) โง ( ๐ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐ ) ) โ ( ( ( 1r โ ๐ด ) ( ๐ matRepV ๐
) ๐ ) โ ๐ผ ) โ ๐ต ) |
36 |
27 32 33 35
|
syl12anc |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ( 1r โ ๐ด ) ( ๐ matRepV ๐
) ๐ ) โ ๐ผ ) โ ๐ต ) |
37 |
4 36
|
eqeltrid |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ๐ธ โ ๐ต ) |
38 |
|
eqid |
โข ( .r โ ๐ด ) = ( .r โ ๐ด ) |
39 |
1 2 7 8 38
|
mdetmul |
โข ( ( ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ธ โ ๐ต ) โ ( ๐ท โ ( ๐ ( .r โ ๐ด ) ๐ธ ) ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ธ ) ) ) |
40 |
22 23 37 39
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐ท โ ( ๐ ( .r โ ๐ด ) ๐ธ ) ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ธ ) ) ) |
41 |
19 21 40
|
3eqtr3rd |
โข ( ( ( ๐
โ CRing โง ๐ผ โ ๐ ) โง ( ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ ) โง ( ๐ ยท ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ธ ) ) = ( ๐ท โ ๐ป ) ) |