Metamath Proof Explorer


Theorem cramerimplem3

Description: Lemma 3 for cramerimp : The determinant of the matrix of a system of linear equations multiplied with the determinant of the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the determinant of the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019) (Revised by AV, 1-Mar-2019)

Ref Expression
Hypotheses cramerimp.a โŠข ๐ด = ( ๐‘ Mat ๐‘… )
cramerimp.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐ด )
cramerimp.v โŠข ๐‘‰ = ( ( Base โ€˜ ๐‘… ) โ†‘m ๐‘ )
cramerimp.e โŠข ๐ธ = ( ( ( 1r โ€˜ ๐ด ) ( ๐‘ matRepV ๐‘… ) ๐‘ ) โ€˜ ๐ผ )
cramerimp.h โŠข ๐ป = ( ( ๐‘‹ ( ๐‘ matRepV ๐‘… ) ๐‘Œ ) โ€˜ ๐ผ )
cramerimp.x โŠข ยท = ( ๐‘… maVecMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ โŸฉ )
cramerimp.d โŠข ๐ท = ( ๐‘ maDet ๐‘… )
cramerimp.t โŠข โŠ— = ( .r โ€˜ ๐‘… )
Assertion cramerimplem3 ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘‹ ) โŠ— ( ๐ท โ€˜ ๐ธ ) ) = ( ๐ท โ€˜ ๐ป ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cramerimp.a โŠข ๐ด = ( ๐‘ Mat ๐‘… )
2 cramerimp.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐ด )
3 cramerimp.v โŠข ๐‘‰ = ( ( Base โ€˜ ๐‘… ) โ†‘m ๐‘ )
4 cramerimp.e โŠข ๐ธ = ( ( ( 1r โ€˜ ๐ด ) ( ๐‘ matRepV ๐‘… ) ๐‘ ) โ€˜ ๐ผ )
5 cramerimp.h โŠข ๐ป = ( ( ๐‘‹ ( ๐‘ matRepV ๐‘… ) ๐‘Œ ) โ€˜ ๐ผ )
6 cramerimp.x โŠข ยท = ( ๐‘… maVecMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ โŸฉ )
7 cramerimp.d โŠข ๐ท = ( ๐‘ maDet ๐‘… )
8 cramerimp.t โŠข โŠ— = ( .r โ€˜ ๐‘… )
9 simpl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing )
10 1 2 matrcl โŠข ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V ) )
11 10 simpld โŠข ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin )
12 11 adantr โŠข ( ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin )
13 9 12 anim12ci โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) ) โ†’ ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing ) )
14 13 3adant3 โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing ) )
15 eqid โŠข ( ๐‘… maMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ , ๐‘ โŸฉ ) = ( ๐‘… maMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ , ๐‘ โŸฉ )
16 1 15 matmulr โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing ) โ†’ ( ๐‘… maMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ , ๐‘ โŸฉ ) = ( .r โ€˜ ๐ด ) )
17 14 16 syl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐‘… maMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ , ๐‘ โŸฉ ) = ( .r โ€˜ ๐ด ) )
18 17 oveqd โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐‘‹ ( ๐‘… maMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ , ๐‘ โŸฉ ) ๐ธ ) = ( ๐‘‹ ( .r โ€˜ ๐ด ) ๐ธ ) )
19 18 fveq2d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐ท โ€˜ ( ๐‘‹ ( ๐‘… maMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ , ๐‘ โŸฉ ) ๐ธ ) ) = ( ๐ท โ€˜ ( ๐‘‹ ( .r โ€˜ ๐ด ) ๐ธ ) ) )
20 1 2 3 4 5 6 15 cramerimplem2 โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐‘‹ ( ๐‘… maMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ , ๐‘ โŸฉ ) ๐ธ ) = ๐ป )
21 20 fveq2d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐ท โ€˜ ( ๐‘‹ ( ๐‘… maMul โŸจ ๐‘ , ๐‘ , ๐‘ โŸฉ ) ๐ธ ) ) = ( ๐ท โ€˜ ๐ป ) )
22 simp1l โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing )
23 simp2l โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต )
24 crngring โŠข ( ๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring )
25 24 adantr โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring )
26 25 12 anim12i โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) ) โ†’ ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin ) )
27 26 3adant3 โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin ) )
28 ne0i โŠข ( ๐ผ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ โ‰  โˆ… )
29 24 28 anim12ci โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โ†’ ( ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) )
30 1 2 3 6 slesolvec โŠข ( ( ( ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) ) โ†’ ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ ) )
31 29 30 sylan โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) ) โ†’ ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ ) )
32 31 3impia โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ )
33 simp1r โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘ )
34 eqid โŠข ( 1r โ€˜ ๐ด ) = ( 1r โ€˜ ๐ด )
35 1 2 3 34 ma1repvcl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin ) โˆง ( ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) ) โ†’ ( ( ( 1r โ€˜ ๐ด ) ( ๐‘ matRepV ๐‘… ) ๐‘ ) โ€˜ ๐ผ ) โˆˆ ๐ต )
36 27 32 33 35 syl12anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( 1r โ€˜ ๐ด ) ( ๐‘ matRepV ๐‘… ) ๐‘ ) โ€˜ ๐ผ ) โˆˆ ๐ต )
37 4 36 eqeltrid โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ต )
38 eqid โŠข ( .r โ€˜ ๐ด ) = ( .r โ€˜ ๐ด )
39 1 2 7 8 38 mdetmul โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐ท โ€˜ ( ๐‘‹ ( .r โ€˜ ๐ด ) ๐ธ ) ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘‹ ) โŠ— ( ๐ท โ€˜ ๐ธ ) ) )
40 22 23 37 39 syl3anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐ท โ€˜ ( ๐‘‹ ( .r โ€˜ ๐ด ) ๐ธ ) ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘‹ ) โŠ— ( ๐ท โ€˜ ๐ธ ) ) )
41 19 21 40 3eqtr3rd โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ ) โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) = ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘‹ ) โŠ— ( ๐ท โ€˜ ๐ธ ) ) = ( ๐ท โ€˜ ๐ป ) )