Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
crctcshwlkn0lem.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) |
2 |
|
crctcshwlkn0lem.q |
⊢ 𝑄 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ if ( 𝑥 ≤ ( 𝑁 − 𝑆 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 𝑆 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑥 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) |
3 |
|
crctcshwlkn0lem.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝐹 cyclShift 𝑆 ) |
4 |
|
crctcshwlkn0lem.n |
⊢ 𝑁 = ( ♯ ‘ 𝐹 ) |
5 |
|
crctcshwlkn0lem.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴 ) |
6 |
|
crctcshwlkn0lem.p |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
7 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
8 |
7
|
zcnd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
10 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
11 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝑆 ∈ ℤ ) |
12 |
11
|
zcnd |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝑆 ∈ ℂ ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ ℂ ) |
14 |
|
elfzoel2 |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
15 |
14
|
zcnd |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
17 |
9 10 13 16
|
2addsubd |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) = ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) ) |
18 |
17
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) |
19 |
|
elfzo1 |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ) |
20 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
21 |
20
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
22 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
23 |
7
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
24 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ ) |
25 |
24
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑆 ∈ ℤ ) |
26 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ ℤ ) |
27 |
23 26
|
zaddcld |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℤ ) |
28 |
|
elfzo2 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) |
29 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ↔ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 ) ) |
30 |
|
zre |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ ) |
31 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ ) |
32 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
33 |
31 32
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
34 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
35 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
36 |
34 35
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 − 𝑆 ) ∈ ℝ ) |
37 |
36
|
lep1d |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 − 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) |
38 |
|
1red |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ ) |
39 |
36 38
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
40 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
41 |
|
letr |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∧ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 ) → ( 𝑁 − 𝑆 ) ≤ 𝑗 ) ) |
42 |
36 39 40 41
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∧ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 ) → ( 𝑁 − 𝑆 ) ≤ 𝑗 ) ) |
43 |
37 42
|
mpand |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 → ( 𝑁 − 𝑆 ) ≤ 𝑗 ) ) |
44 |
34 35 40
|
lesubaddd |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑁 − 𝑆 ) ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
45 |
43 44
|
sylibd |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
46 |
45
|
ex |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝑗 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) ) |
47 |
33 46
|
syl |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑗 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) ) |
48 |
47
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) ) |
49 |
30 48
|
syl5com |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) ) |
50 |
49
|
com23 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) ) |
51 |
50
|
imp |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
52 |
51
|
3adant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
53 |
29 52
|
sylbi |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
54 |
53
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
55 |
54
|
com12 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
56 |
28 55
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
57 |
56
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) |
58 |
|
eluz2 |
⊢ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) ↔ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) ) |
59 |
22 27 57 58
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) ) |
60 |
|
uznn0sub |
⊢ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
61 |
59 60
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
62 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
63 |
30
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
64 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
65 |
|
ax-1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑆 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
66 |
65
|
imdistanri |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
67 |
66
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
68 |
|
lt2add |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) ) |
69 |
63 64 67 68
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) ) |
70 |
63 64
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ) |
71 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
72 |
70 71 71
|
ltsubaddd |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ↔ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) ) |
73 |
69 72
|
sylibrd |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
74 |
73
|
ex |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
75 |
74
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
76 |
75
|
expcomd |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝑆 < 𝑁 → ( 𝑗 < 𝑁 → ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) ) |
77 |
33 76
|
syl |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 < 𝑁 → ( 𝑗 < 𝑁 → ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) ) |
78 |
77
|
3impia |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑗 < 𝑁 → ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
79 |
78
|
com13 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 < 𝑁 → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
80 |
79
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 < 𝑁 → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
81 |
29 80
|
sylbi |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) → ( 𝑗 < 𝑁 → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
82 |
81
|
imp |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑗 < 𝑁 ) → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
83 |
82
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
84 |
28 83
|
sylbi |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
85 |
84
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) |
86 |
61 62 85
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
87 |
19 86
|
sylanb |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
88 |
|
elfzo0 |
⊢ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
89 |
87 88
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
90 |
89
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
91 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
92 |
91
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
93 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) → ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) ) ) |
94 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) |
95 |
94
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
96 |
93 95
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
97 |
92 96
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) |
98 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) |
99 |
91
|
sneqd |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ) |
100 |
98 99
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } ↔ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ) ) |
101 |
100
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } ↔ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ) ) |
102 |
92 96
|
preq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ) |
103 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) |
104 |
103
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
105 |
104
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) |
106 |
102 105
|
sseq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↔ { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) |
107 |
97 101 106
|
ifpbi123d |
⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
108 |
90 107
|
rspcdv |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) → if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
109 |
18 108
|
mpdan |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) → if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
110 |
1 109
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) → if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
111 |
110
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) if- ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) } , { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) → if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ) ) |
112 |
6 111
|
mpid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
113 |
112
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) |
114 |
|
elfzofz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) |
115 |
1 2
|
crctcshwlkn0lem3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
116 |
114 115
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
117 |
|
fzofzp1 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) |
118 |
1 2
|
crctcshwlkn0lem3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
119 |
117 118
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
120 |
3
|
fveq1i |
⊢ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝐹 cyclShift 𝑆 ) ‘ 𝑗 ) |
121 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 ∈ Word 𝐴 ) |
122 |
1 11
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ ) |
123 |
122
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ ℤ ) |
124 |
|
ltle |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝑆 < 𝑁 → 𝑆 ≤ 𝑁 ) ) |
125 |
33 124
|
syl |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 < 𝑁 → 𝑆 ≤ 𝑁 ) ) |
126 |
125
|
3impia |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑆 ≤ 𝑁 ) |
127 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0 ) |
128 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
129 |
127 128
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
130 |
129
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
131 |
|
nn0sub |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑆 ≤ 𝑁 ↔ ( 𝑁 − 𝑆 ) ∈ ℕ0 ) ) |
132 |
130 131
|
syl |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑆 ≤ 𝑁 ↔ ( 𝑁 − 𝑆 ) ∈ ℕ0 ) ) |
133 |
126 132
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝑆 ) ∈ ℕ0 ) |
134 |
19 133
|
sylbi |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝑆 ) ∈ ℕ0 ) |
135 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
136 |
135
|
a1i |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℕ0 ) |
137 |
134 136
|
nn0addcld |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
138 |
|
elnn0uz |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
139 |
137 138
|
sylib |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
140 |
|
fzoss1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
141 |
1 139 140
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
142 |
141
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
143 |
4
|
oveq2i |
⊢ ( 0 ..^ 𝑁 ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
144 |
142 143
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
145 |
|
cshwidxmod |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝐹 cyclShift 𝑆 ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) mod ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
146 |
121 123 144 145
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐹 cyclShift 𝑆 ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) mod ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
147 |
4
|
eqcomi |
⊢ ( ♯ ‘ 𝐹 ) = 𝑁 |
148 |
147
|
oveq2i |
⊢ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) mod ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) mod 𝑁 ) |
149 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
150 |
149
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
151 |
150
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
152 |
31
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
153 |
152
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
154 |
151 153
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ) |
155 |
|
nnrp |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
156 |
155
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
157 |
156
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
158 |
54
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ) |
159 |
157
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
160 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → 𝑗 < 𝑁 ) |
161 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → 𝑆 < 𝑁 ) |
162 |
151 153 159 160 161
|
lt2addmuld |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) |
163 |
158 162
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → ( 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
164 |
154 157 163
|
jca31 |
⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
165 |
164
|
ex |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁 ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) ) |
166 |
28 165
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) ) |
167 |
19 166
|
sylbi |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) ) |
168 |
1 167
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) ) |
169 |
168
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
170 |
|
2submod |
⊢ ( ( ( ( 𝑗 + 𝑆 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑁 ≤ ( 𝑗 + 𝑆 ) ∧ ( 𝑗 + 𝑆 ) < ( 2 · 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) |
171 |
169 170
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) |
172 |
148 171
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑗 + 𝑆 ) mod ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) = ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) |
173 |
172
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) mod ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
174 |
146 173
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐹 cyclShift 𝑆 ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
175 |
120 174
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
176 |
175
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) |
177 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
178 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) |
179 |
177 178
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ↔ ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) |
180 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) |
181 |
177
|
sneqd |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) } = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ) |
182 |
180 181
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) } ↔ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ) ) |
183 |
177 178
|
preq12d |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) , ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) } = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ) |
184 |
183 180
|
sseq12d |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → ( { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) , ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ↔ { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) |
185 |
179 182 184
|
ifpbi123d |
⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) → ( if- ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) } , { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) , ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ) ↔ if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
186 |
116 119 176 185
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → ( if- ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) } , { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) , ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ) ↔ if- ( ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) = { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } , { ( 𝑃 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) , ( 𝑃 ‘ ( ( ( 𝑗 + 1 ) + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑗 + 𝑆 ) − 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
187 |
113 186
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) ) → if- ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) } , { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) , ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
188 |
187
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 − 𝑆 ) + 1 ) ..^ 𝑁 ) if- ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) , ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) = { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) } , { ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) , ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) } ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |