Theorem cvlatexch3

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 29-Nov-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	cvlatexch.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cvlatexch.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cvlatexch.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion	cvlatexch3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvlatexch.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cvlatexch.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cvlatexch.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4		simp1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
5		simp21	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
6		simp23	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
7		simp22	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
8		simp3l	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
9	1 2 3	cvlatexchb1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
10	4 5 6 7 8 9	syl131anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
11	10	biimpa	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
12		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
13		cvllat	⊢ ( 𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat )
14	12 13	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
15		simpl21	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
16		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17	16 3	atbase	⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18	15 17	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19		simpl22	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
20	16 3	atbase	⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21	19 20	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22	16 2	latjcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) )
23	14 18 21 22	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) )
24	1 2 3	cvlatexchb2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
25	24	3adant3l	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
26	25	biimpa	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
27	11 23 26	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
28	27	ex	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )