Theorem cvlsupr7

Description: Consequence of superposition condition ( P .\/ R ) = ( Q .\/ R ) . (Contributed by NM, 24-Nov-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	cvlsupr5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cvlsupr5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
Assertion	cvlsupr7	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvlsupr5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
2		cvlsupr5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cvllat	⊢ ( 𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat )
4	3	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
5		simp21	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
6		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
7	6 1	atbase	⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
8	5 7	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
9		simp23	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
10	6 1	atbase	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11	9 10	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12		eqid	⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
13	6 12 2	latlej1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
14	4 8 11 13	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
15		simp3r	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
16	14 15	breqtrd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
17		simp22	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
18	6 1	atbase	⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19	17 18	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20	6 2	latjcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )
21	4 19 11 20	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )
22	16 21	breqtrd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )
23		simp1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
24		simp3l	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
25	12 2 1	cvlatexchb2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) )
26	23 5 9 17 24 25	syl131anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑃 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) )
27	22 26	mpbid	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )