Theorem cxplt2

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014)

	Ref	Expression
Assertion	cxplt2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) < ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxple2	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) )
2	1	3com12	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) )
3	2	notbid	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( ¬ 𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) )
4		simp1l	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
5		simp2l	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
6	4 5	ltnled	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴 ) )
7		simp1r	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ 𝐴 )
8		rpre	⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ )
9	8	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
10		recxpcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ )
11	4 7 9 10	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ )
12		simp2r	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ 𝐵 )
13		recxpcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ )
14	5 12 9 13	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ )
15	11 14	ltnled	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) < ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ↔ ¬ ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) )
16	3 6 15	3bitr4d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) < ( 𝐵 ↑𝑐 𝐶 ) ) )