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Theorem dalawlem12

Description: Lemma for dalaw . Second part of dalawlem13 . (Contributed by NM, 17-Sep-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalawlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalawlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalawlem.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalawlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion dalawlem12 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalawlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 dalawlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 dalawlem.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 dalawlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
6 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
7 6 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
8 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
9 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
10 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11 6 8 9 10 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
13 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
14 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 6 12 13 14 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 7 11 15 16 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 5 4 atbase ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 12 18 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 7 11 19 20 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 5 4 atbase ⊢ ( 𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 13 22 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 7 21 23 24 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 7 25 19 26 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 5 4 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 9 28 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
31 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 6 13 30 31 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 7 29 32 33 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 6 30 12 35 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 7 34 36 37 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
39 5 1 2 latlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) )
40 7 11 19 39 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) )
41 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 6 13 12 41 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 5 1 3 latmlem1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) ) )
44 7 11 21 42 43 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) ) )
45 40 44 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) )
46 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) )
47 6 12 13 46 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) )
48 47 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) )
49 5 1 2 latlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) )
50 7 11 19 49 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) )
51 5 1 2 3 4 atmod2i2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) )
52 6 13 21 19 50 51 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑆 ) ) )
53 45 48 52 3brtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) )
54 hlol ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
55 6 54 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
56 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57 6 8 12 56 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
59 7 29 57 58 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
60 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
61 6 9 13 60 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
62 5 3 latmassOLD ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑇 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑇 ) ) )
63 55 59 61 23 62 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑇 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑇 ) ) )
64 2 4 hlatjass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) )
65 6 8 9 12 64 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) )
66 2 4 hlatj12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) = ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
67 6 8 9 12 66 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ) = ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
68 65 67 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) )
69 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
70 6 9 13 69 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
71 5 1 3 latleeqm2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑇 ) = 𝑇 ) )
72 7 23 61 71 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑇 ) = 𝑇 ) )
73 70 72 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑇 ) = 𝑇 )
74 68 73 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) )
75 63 74 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) = ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑇 ) )
76 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
77 6 9 13 76 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
78 5 1 2 3 4 atmod1i1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
79 6 9 57 61 77 78 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
80 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) )
81 6 30 9 80 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) )
82 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
83 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 = 𝑅 )
84 83 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
85 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) )
86 6 9 30 85 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) )
87 84 86 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) )
88 82 87 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) )
89 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
90 7 57 61 89 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
91 5 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
92 6 30 9 91 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
93 5 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ) )
94 7 29 90 92 93 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ) )
95 81 88 94 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) )
96 79 95 eqbrtrrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) )
97 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
98 6 13 30 97 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
99 5 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
100 7 59 61 99 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
101 5 1 3 latmlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) )
102 7 100 92 23 32 101 syl122anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) )
103 96 98 102 mp2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
104 75 103 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
105 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → 𝑈 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
106 6 13 30 105 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
107 5 1 2 3 4 atmod1i1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑈 ∨ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) = ( ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
108 6 30 29 32 106 107 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) = ( ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
109 5 4 atbase ⊢ ( 𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
110 30 109 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
111 5 2 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑈 ∨ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) = ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) )
112 7 110 34 111 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) = ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) )
113 108 112 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑈 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) )
114 104 113 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) )
115 5 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
116 7 34 110 115 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
117 5 1 2 latjlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ) )
118 7 25 116 19 117 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ) )
119 114 118 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) )
120 5 2 latjass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
121 7 34 110 19 120 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
122 119 121 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑇 ) ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
123 5 1 7 17 27 38 53 122 lattrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
124 5 1 3 latmle1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
125 7 11 15 124 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
126 5 1 3 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
127 7 17 38 11 126 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
128 123 125 127 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
129 5 4 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
130 8 129 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
131 5 1 2 3 latmlej12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
132 7 29 32 130 131 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
133 5 1 2 3 4 llnmod1i2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
134 6 34 11 30 12 132 133 syl321anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
135 2 4 hlatjidm ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑄 ) = 𝑄 )
136 6 9 135 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑄 ) = 𝑄 )
137 83 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
138 136 137 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
139 138 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
140 5 3 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
141 7 36 11 140 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
142 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) )
143 6 8 9 142 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) )
144 83 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
145 143 144 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
146 145 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
147 141 146 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
148 139 147 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
149 134 148 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
150 128 149 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )