Theorem dalawlem14

Description: Lemma for dalaw . Combine dalawlem10 and dalawlem13 . (Contributed by NM, 6-Oct-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	dalawlem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	dalawlem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	dalawlem.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	dalawlem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	dalawlem2.o	⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
Assertion	dalawlem14	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalawlem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		dalawlem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		dalawlem.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		dalawlem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		dalawlem2.o	⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
6		ianor	⊢ ( ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) ↔ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∨ ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) )
7	1 2 3 4 5	dalawlem13	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
8	7	3expib	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
9	8	3exp	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) ) )
10	1 2 3 4	dalawlem10	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
11	10	3expib	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
12	11	3exp	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) ) )
13	9 12	jaod	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∨ ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) ) )
14	6 13	biimtrid	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) ) )
15	14	3imp	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
16	15	3impib	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )