Metamath Proof Explorer

Theorem dalawlem15

Description: Lemma for dalaw . Swap variable triples P Q R and S T U in dalawlem14 , to obtain the elimination of the remaining conditions in dalawlem1 . (Contributed by NM, 6-Oct-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalawlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalawlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalawlem.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalawlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalawlem2.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
Assertion dalawlem15 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalawlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 dalawlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 dalawlem.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 dalawlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalawlem2.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
6 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
7 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
8 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
9 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
10 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) )
11 6 8 9 10 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) )
12 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
13 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
14 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) )
15 6 12 13 14 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) )
16 11 15 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) )
17 16 breq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
18 17 notbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ↔ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
19 16 breq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
20 19 notbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ↔ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
21 16 breq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
22 21 notbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ↔ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) )
23 18 20 22 3anbi123d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ↔ ( ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
24 23 anbi2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
25 7 24 mtbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )
26 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
27 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
28 6 9 8 27 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
29 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
30 6 13 12 29 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
31 28 30 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
32 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
33 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
34 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
35 6 32 33 34 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
36 26 31 35 3brtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) )
37 simp3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) )
38 simp2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) )
39 1 2 3 4 5 dalawlem14 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) )
40 6 25 36 37 38 39 syl311anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≤ ( ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) )
41 6 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
42 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
43 42 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 6 8 12 43 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 42 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 6 9 13 45 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 42 3 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
48 41 44 46 47 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
49 42 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
50 6 12 33 49 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51 42 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
52 6 13 32 51 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
53 42 3 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
54 41 50 52 53 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
55 42 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
56 6 33 8 55 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57 42 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58 6 32 9 57 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
59 42 3 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) )
60 41 56 58 59 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) )
61 54 60 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) = ( ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) )
62 40 48 61 3brtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) )