dalem10

Description: Lemma for dath . Atom D belongs to the axis of perspectivity X . (Contributed by NM, 19-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	dalema.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
	dalemc.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	dalemc.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	dalemc.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	dalem10.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	dalem10.o	⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
	dalem10.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
	dalem10.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
	dalem10.x	⊢ 𝑋 = ( 𝑌 ∧ 𝑍 )
	dalem10.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
Assertion	dalem10	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2		dalemc.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		dalemc.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		dalemc.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		dalem10.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
6		dalem10.o	⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
7		dalem10.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
8		dalem10.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
9		dalem10.x	⊢ 𝑋 = ( 𝑌 ∧ 𝑍 )
10		dalem10.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
11	1	dalemkelat	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Lat )
12	1 3 4	dalempjqeb	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13	1 4	dalemreb	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
15	14 2 3	latlej1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
16	11 12 13 15	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
17	1 3 4	dalemsjteb	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18	1 4	dalemueb	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19	14 2 3	latlej1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
20	11 17 18 19	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
21	1 6	dalemyeb	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22	7 21	eqeltrrid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23	1	dalemzeo	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑂 )
24	14 6	lplnbase	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑂 → 𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25	23 24	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26	8 25	eqeltrrid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27	14 2 5	latmlem12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) )
28	11 12 22 17 26 27	syl122anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) )
29	16 20 28	mp2and	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) )
30	7 8	oveq12i	⊢ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) = ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
31	9 30	eqtri	⊢ 𝑋 = ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
32	29 10 31	3brtr4g	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋 )

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Theorem dalem10

Proof