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Theorem dalem2

Description: Lemma for dath . Show the lines P Q and S T form a plane. (Contributed by NM, 11-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalema.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalemc.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalemc.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalemc.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem1.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem1.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
Assertion dalem2 ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝑂 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalema.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalemc.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalemc.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalemc.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem1.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
6 dalem1.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
7 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
8 1 dalempea ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴 )
9 1 dalemqea ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴 )
10 1 dalemsea ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴 )
11 1 dalemtea ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴 )
12 3 4 hlatj4 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
13 7 8 9 10 11 12 syl122anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) )
14 1 2 3 4 5 6 dalempjsen ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
15 1 2 3 4 5 6 dalemqnet ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑇 )
16 eqid ⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
17 3 4 16 llni2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
18 7 9 11 15 17 syl31anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
19 1 2 3 4 5 6 dalem1 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
20 1 2 3 4 5 6 dalemcea ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
21 1 dalemclpjs ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
22 1 dalemclqjt ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
23 eqid ⊢ ( meet ‘ 𝐾 ) = ( meet ‘ 𝐾 )
24 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
25 2 23 24 4 16 2llnm4 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
26 7 20 14 18 21 22 25 syl132anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
27 23 24 4 16 2llnmat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
28 7 14 18 19 26 27 syl32anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
29 3 23 4 16 5 2llnmj ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝑂 ) )
30 7 14 18 29 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝑂 ) )
31 28 30 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝑂 )
32 13 31 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝑂 )