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Theorem dalem22

Description: Lemma for dath . Show that lines c d and P S determine a plane. (Contributed by NM, 2-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
dalem22.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem22.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem22.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
Assertion dalem22 ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6 dalem22.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
7 dalem22.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
8 dalem22.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
9 eqid ⊢ ( meet ‘ 𝐾 ) = ( meet ‘ 𝐾 )
10 1 2 3 4 5 9 6 7 8 dalem21 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )
11 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
12 11 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
13 1 2 3 4 5 dalemcjden ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
14 1 2 3 4 6 7 dalempjsen ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
15 14 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
16 eqid ⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
17 3 9 4 16 6 2llnmj ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 ) )
18 12 13 15 17 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 ) )
19 18 3adant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 ) )
20 10 19 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝑂 )