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Theorem dalem39

Description: Lemma for dath . Auxiliary atoms G , H , and I are not colinear. (Contributed by NM, 4-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
dalem38.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem38.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem38.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem38.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalem38.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
dalem38.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
dalem38.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
Assertion dalem39 ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝐻 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6 dalem38.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem38.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem38.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
9 dalem38.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
10 dalem38.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
11 dalem38.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
12 dalem38.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
13 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
14 13 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
15 1 dalemyeo ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑂 )
16 15 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑌 ∈ 𝑂 )
17 5 dalemccea ⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴 )
18 17 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ∈ 𝐴 )
19 5 dalem-ccly ⊢ ( 𝜓 → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 )
20 19 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 )
21 eqid ⊢ ( LVols ‘ 𝐾 ) = ( LVols ‘ 𝐾 )
22 2 3 4 7 21 lvoli3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ) → ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ∈ ( LVols ‘ 𝐾 ) )
23 14 16 18 20 22 syl31anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ∈ ( LVols ‘ 𝐾 ) )
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 dalem34 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 ∈ 𝐴 )
25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dalem23 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ∈ 𝐴 )
26 2 3 4 21 lvolnle3at ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ∈ ( LVols ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ≤ ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝑐 ) )
27 14 23 24 25 18 26 syl23anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ≤ ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝑐 ) )
28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dalem38 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑌 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) )
29 1 dalemkelat ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Lat )
30 29 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ Lat )
31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 dalem29 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 ∈ 𝐴 )
32 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
33 32 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 14 25 31 33 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 32 4 atbase ⊢ ( 𝐼 ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 24 35 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 32 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 30 34 36 37 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
39 5 4 dalemcceb ⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
40 39 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
41 32 2 3 latlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑐 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) )
42 30 38 40 41 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) )
43 1 7 dalemyeb ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 43 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 32 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 30 38 40 45 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 32 2 3 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑌 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ∧ 𝑐 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ) ↔ ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ) )
48 30 44 40 46 47 syl13anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑌 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ∧ 𝑐 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ) ↔ ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) ) )
49 28 42 48 mpbi2and ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) )
50 3 4 hlatjrot ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) = ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) )
51 14 25 31 24 50 syl13anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) = ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) )
52 51 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) = ( ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) )
53 49 52 breqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ≤ ( ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) )
54 53 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) ∧ 𝐻 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) → ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ≤ ( ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) )
55 32 4 atbase ⊢ ( 𝐻 ∈ 𝐴 → 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
56 31 55 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57 32 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58 14 24 25 57 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
59 32 2 3 latleeqj2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐻 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ↔ ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) = ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) )
60 30 56 58 59 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐻 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ↔ ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) = ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) )
61 60 biimpa ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) ∧ 𝐻 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) → ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) = ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) )
62 61 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) ∧ 𝐻 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) = ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝑐 ) )
63 54 62 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) ∧ 𝐻 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) → ( 𝑌 ∨ 𝑐 ) ≤ ( ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ∨ 𝑐 ) )
64 27 63 mtand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝐻 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) )