Theorem dalem4

Description: Lemma for dalemdnee . (Contributed by NM, 10-Aug-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	dalema.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
	dalemc.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	dalemc.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	dalemc.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	dalem3.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	dalem3.o	⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
	dalem3.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
	dalem3.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
	dalem3.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
	dalem3.e	⊢ 𝐸 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
Assertion	dalem4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → 𝐷 ≠ 𝐸 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2		dalemc.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		dalemc.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		dalemc.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		dalem3.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
6		dalem3.o	⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
7		dalem3.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
8		dalem3.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
9		dalem3.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
10		dalem3.e	⊢ 𝐸 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
11	1 2 3 4	dalemswapyz	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
12	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
13	1	dalemkelat	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Lat )
14	1 3 4	dalempjqeb	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15	1 3 4	dalemsjteb	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17	16 5	latmcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
18	13 14 15 17	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
19	9 18	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
20	19	neeq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ≠ 𝑇 ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ 𝑇 ) )
21	20	biimpa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ 𝑇 )
22		biid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
23		eqid	⊢ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
24		eqid	⊢ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
25	22 2 3 4 5 6 8 7 23 24	dalem3	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
26	12 21 25	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
27	19	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → 𝐷 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
28	1	dalemkehl	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
29	1	dalemqea	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴 )
30	1	dalemrea	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴 )
31	16 3 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32	28 29 30 31	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33	1 3 4	dalemtjueb	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34	16 5	latmcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
35	13 32 33 34	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
36	10 35	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
37	36	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → 𝐸 = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
38	26 27 37	3netr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → 𝐷 ≠ 𝐸 )