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Theorem dalem56

Description: Lemma for dath . Analogue of dalem55 for line S T . (Contributed by NM, 8-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
dalem54.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem54.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem54.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem54.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalem54.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
dalem54.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
dalem54.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
dalem54.b1 ⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 )
Assertion dalem56 ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6 dalem54.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem54.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem54.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
9 dalem54.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
10 dalem54.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
11 dalem54.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
12 dalem54.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
13 dalem54.b1 ⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 )
14 1 2 3 4 dalemswapyz ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
15 14 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
16 simp2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑌 = 𝑍 )
17 16 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑍 = 𝑌 )
18 1 2 3 4 5 dalemswapyzps ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑑 ∨ 𝑐 ) ) ) )
19 biid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
20 biid ⊢ ( ( ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑑 ∨ 𝑐 ) ) ) ↔ ( ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑑 ∨ 𝑐 ) ) ) )
21 eqid ⊢ ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) )
22 eqid ⊢ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) )
23 eqid ⊢ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) )
24 eqid ⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) = ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 )
25 19 2 3 4 20 6 7 9 8 21 22 23 24 dalem55 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ∧ 𝑍 = 𝑌 ∧ ( ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑑 ∨ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) ) )
26 15 17 18 25 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) ) )
27 1 dalemkelat ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Lat )
28 27 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ Lat )
29 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
30 29 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
31 5 dalemccea ⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴 )
32 31 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ∈ 𝐴 )
33 1 dalempea ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴 )
34 33 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
35 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
36 35 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 30 32 34 36 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 5 dalemddea ⊢ ( 𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴 )
39 38 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑑 ∈ 𝐴 )
40 1 dalemsea ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴 )
41 40 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
42 35 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 30 39 41 42 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 35 6 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) )
45 28 37 43 44 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) )
46 10 45 eqtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 = ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) )
47 1 dalemqea ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴 )
48 47 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
49 35 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
50 30 32 48 49 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51 1 dalemtea ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴 )
52 51 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
53 35 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
54 30 39 52 53 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
55 35 6 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) )
56 28 50 54 55 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) )
57 11 56 eqtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 = ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) )
58 46 57 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) = ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) )
59 58 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
60 1 dalemrea ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴 )
61 60 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
62 35 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
63 30 32 61 62 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
64 1 dalemuea ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴 )
65 64 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
66 35 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
67 30 39 65 66 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
68 35 6 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) )
69 28 63 67 68 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) )
70 12 69 eqtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 = ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) )
71 58 70 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) )
72 71 16 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 ) = ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) )
73 13 72 eqtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐵 = ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) )
74 58 73 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) ) )
75 26 59 74 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) )