Metamath Proof Explorer

Theorem dalem58

Description: Lemma for dath . Analogue of dalem57 for E . (Contributed by NM, 10-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
dalem58.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem58.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem58.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem58.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalem58.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
dalem58.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
dalem58.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
dalem58.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
dalem58.b1 ⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 )
Assertion dalem58 ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐸 ≤ 𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6 dalem58.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem58.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem58.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
9 dalem58.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
10 dalem58.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
11 dalem58.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
12 dalem58.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
13 dalem58.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
14 dalem58.b1 ⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 )
15 1 2 3 4 8 9 dalemrot ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
16 15 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
17 1 2 3 4 8 9 dalemrotyz ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) )
18 17 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) )
19 1 2 3 4 5 8 dalemrotps ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
20 19 3adant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
21 biid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
22 biid ⊢ ( ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
23 eqid ⊢ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 )
24 eqid ⊢ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 )
25 eqid ⊢ ( ( ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∨ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ) = ( ( ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∨ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) )
26 21 2 3 4 22 6 7 23 24 10 12 13 11 25 dalem57 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∨ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ) )
27 16 18 20 26 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∨ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ) )
28 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
29 28 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 dalem29 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 ∈ 𝐴 )
31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 dalem34 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 ∈ 𝐴 )
32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 dalem23 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ∈ 𝐴 )
33 3 4 hlatjrot ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∨ 𝐺 ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) )
34 29 30 31 32 33 syl13anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∨ 𝐺 ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) )
35 1 3 4 dalemqrprot ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
36 35 8 eqtr4di ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = 𝑌 )
37 36 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = 𝑌 )
38 34 37 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∨ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ) = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 ) )
39 38 14 eqtr4di ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∨ 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ) = 𝐵 )
40 27 39 breqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐸 ≤ 𝐵 )