Theorem dalemcjden

Description: Lemma for dath . Show that the dummy atoms form a line. (Contributed by NM, 15-Aug-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	dalem.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
	dalem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	dalem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	dalem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	dalem.ps	⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
Assertion	dalemcjden	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2		dalem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		dalem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		dalem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		dalem.ps	⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6	1	dalemkehl	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
7	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
8	5	dalemccea	⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴 )
9	8	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ∈ 𝐴 )
10	5	dalemddea	⊢ ( 𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴 )
11	10	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑑 ∈ 𝐴 )
12	5	dalemccnedd	⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ≠ 𝑑 )
13	12	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ≠ 𝑑 )
14		eqid	⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
15	3 4 14	llni2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
16	7 9 11 13 15	syl31anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )