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Theorem dalemdea

Description: Lemma for dath . Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 11-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalema.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalemc.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalemc.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalemc.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalemdea.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalemdea.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalemdea.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalemdea.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalemdea.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
Assertion dalemdea ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalema.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalemc.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalemc.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalemc.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalemdea.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
6 dalemdea.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
7 dalemdea.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
8 dalemdea.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
9 dalemdea.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
10 1 2 3 4 6 7 dalem2 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝑂 )
11 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
12 1 dalempea ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴 )
13 1 dalemqea ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴 )
14 1 dalemrea ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴 )
15 1 dalemyeo ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑂 )
16 3 4 6 7 lplnri1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
17 11 12 13 14 15 16 syl131anc ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄 )
18 eqid ⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
19 3 4 18 llni2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
20 11 12 13 17 19 syl31anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
21 1 dalemsea ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴 )
22 1 dalemtea ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴 )
23 1 dalemuea ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴 )
24 1 dalemzeo ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑂 )
25 3 4 6 8 lplnri1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) → 𝑆 ≠ 𝑇 )
26 11 21 22 23 24 25 syl131anc ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑇 )
27 3 4 18 llni2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
28 11 21 22 26 27 syl31anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
29 3 5 4 18 6 2llnmj ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝑂 ) )
30 11 20 28 29 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝑂 ) )
31 10 30 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
32 9 31 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴 )