Theorem dalemrot

Description: Lemma for dath . Rotate triangles Y = P Q R and Z = S T U to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 14-Aug-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	dalema.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
	dalemc.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	dalemc.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	dalemc.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	dalemrot.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
	dalemrot.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
Assertion	dalemrot	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2		dalemc.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		dalemc.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		dalemc.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		dalemrot.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
6		dalemrot.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
7	1	dalemkehl	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
8	1 4	dalemceb	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
9	7 8	jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) )
10	1	dalemqea	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴 )
11	1	dalemrea	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴 )
12	1	dalempea	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴 )
13	10 11 12	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) )
14	1	dalemtea	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴 )
15	1	dalemuea	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴 )
16	1	dalemsea	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴 )
17	14 15 16	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) )
18	9 13 17	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) )
19	1 3 4	dalemqrprot	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
20	1	dalemyeo	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑂 )
21	5 20	eqeltrrid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 )
22	19 21	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 )
23	3 4	hlatjrot	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
24	7 14 15 16 23	syl13anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
25	1	dalemzeo	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑂 )
26	6 25	eqeltrrid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑂 )
27	24 26	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 )
28	22 27	jca	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) )
29		simp312	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
30	1 29	sylbi	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
31		simp313	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
32	1 31	sylbi	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
33	1	dalem-clpjq	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
34	30 32 33	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
35		simp322	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
36	1 35	sylbi	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
37		simp323	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) )
38	1 37	sylbi	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) )
39		simp321	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
40	1 39	sylbi	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
41	36 38 40	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
42	1	dalemclqjt	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) )
43	1	dalemclrju	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
44	1	dalemclpjs	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
45	42 43 44	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
46	34 41 45	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) )
47	18 28 46	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )