Theorem dchrisum0lem3

Description: Lemma for dchrisum0 . (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = ( ℤ/nℤ ‘ 𝑁 )
	rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = ( ℤRHom ‘ 𝑍 )
	rpvmasum.a	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
	rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = ( DChr ‘ 𝑁 )
	rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐺 )
	rpvmasum2.1	⊢ 1 = ( 0g ‘ 𝐺 )
	rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = { 𝑦 ∈ ( 𝐷 ∖ { 1 } ) ∣ Σ 𝑚 ∈ ℕ ( ( 𝑦 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / 𝑚 ) = 0 }
	dchrisum0.b	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊 )
	dchrisum0lem1.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / ( √ ‘ 𝑎 ) ) )
	dchrisum0.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
	dchrisum0.s	⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , 𝐹 ) ⇝ 𝑆 )
	dchrisum0.1	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑆 ) ) ≤ ( 𝐶 / ( √ ‘ 𝑦 ) ) )
Assertion	dchrisum0lem3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = ( ℤ/nℤ ‘ 𝑁 )
2		rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = ( ℤRHom ‘ 𝑍 )
3		rpvmasum.a	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
4		rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = ( DChr ‘ 𝑁 )
5		rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐺 )
6		rpvmasum2.1	⊢ 1 = ( 0g ‘ 𝐺 )
7		rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = { 𝑦 ∈ ( 𝐷 ∖ { 1 } ) ∣ Σ 𝑚 ∈ ℕ ( ( 𝑦 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / 𝑚 ) = 0 }
8		dchrisum0.b	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊 )
9		dchrisum0lem1.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / ( √ ‘ 𝑎 ) ) )
10		dchrisum0.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
11		dchrisum0.s	⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( + , 𝐹 ) ⇝ 𝑆 )
12		dchrisum0.1	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑆 ) ) ≤ ( 𝐶 / ( √ ‘ 𝑦 ) ) )
13		1red	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ )
14		sumex	⊢ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ∈ V
15	14	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ∈ V )
16		sumex	⊢ Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ∈ V
17	16	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ∈ V )
18	7	ssrab3	⊢ 𝑊 ⊆ ( 𝐷 ∖ { 1 } )
19		difss	⊢ ( 𝐷 ∖ { 1 } ) ⊆ 𝐷
20	18 19	sstri	⊢ 𝑊 ⊆ 𝐷
21	20 8	sselid	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷 )
22	18 8	sselid	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐷 ∖ { 1 } ) )
23		eldifsni	⊢ ( 𝑋 ∈ ( 𝐷 ∖ { 1 } ) → 𝑋 ≠ 1 )
24	22 23	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
25		eqid	⊢ ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) = ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) )
26	1 2 3 4 5 6 21 24 25	dchrmusumlema	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∃ 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) )
27	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
28	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑊 )
29	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
30	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → seq 1 ( + , 𝐹 ) ⇝ 𝑆 )
31	12	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑆 ) ) ≤ ( 𝐶 / ( √ ‘ 𝑦 ) ) )
32		eqid	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) )
33	32	divsqrsum	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) ∈ dom ⇝𝑟
34	32	divsqrsumf	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) : ℝ+ ⟶ ℝ
35		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
36		fss	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) : ℝ+ ⟶ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ) → ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) : ℝ+ ⟶ ℂ )
37	34 35 36	mp2an	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) : ℝ+ ⟶ ℂ
38	37	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) : ℝ+ ⟶ ℂ )
39		rpsup	⊢ sup ( ℝ+ , ℝ* , < ) = +∞
40	39	a1i	⊢ ( 𝜑 → sup ( ℝ+ , ℝ* , < ) = +∞ )
41	38 40	rlimdm	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) ) )
42	33 41	mpbii	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
43	42	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) ( 1 / ( √ ‘ 𝑑 ) ) − ( 2 · ( √ ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
44		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
45		simprrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 )
46		simprrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) )
47	1 2 27 4 5 6 7 28 9 29 30 31 32 43 25 44 45 46	dchrisum0lem2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
48	47	rexlimdvaa	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) )
49	48	exlimdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑐 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ⇝ 𝑡 ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 1 [,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , ( 𝑎 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑎 ) ) / 𝑎 ) ) ) ‘ ( ⌊ ‘ 𝑦 ) ) − 𝑡 ) ) ≤ ( 𝑐 / 𝑦 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) )
50	26 49	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
51	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	dchrisum0lem1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
52	15 17 50 51	o1add2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
53		ovexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ∈ V )
54		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ∈ Fin )
55		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ∈ Fin )
56	21	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐷 )
57		elfzelz	⊢ ( 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℤ )
58	57	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ℤ )
59	4 1 5 2 56 58	dchrzrhcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) ∈ ℂ )
60	59	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) ∈ ℂ )
61		elfznn	⊢ ( 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℕ )
62	61	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ℕ )
63	62	nnrpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ℝ+ )
64		elfznn	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) → 𝑑 ∈ ℕ )
65	64	nnrpd	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ+ )
66		rpmulcl	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑚 · 𝑑 ) ∈ ℝ+ )
67	63 65 66	syl2an	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( 𝑚 · 𝑑 ) ∈ ℝ+ )
68	67	rpsqrtcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ∈ ℝ+ )
69	68	rpcnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ∈ ℂ )
70	68	rpne0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ≠ 0 )
71	60 69 70	divcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ∈ ℂ )
72	55 71	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ∈ ℂ )
73	54 72	fsumcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ∈ ℂ )
74	73	abscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( abs ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ) ∈ ℝ )
75	74	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ) ∈ ℝ )
76	62	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ℕ )
77	76	nnrpd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ℝ+ )
78	77	rprege0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( 𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 ) )
79	64	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℕ )
80	79	nnrpd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ+ )
81	80	rprege0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑 ) )
82		sqrtmul	⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑 ) ) → ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) = ( ( √ ‘ 𝑚 ) · ( √ ‘ 𝑑 ) ) )
83	78 81 82	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) = ( ( √ ‘ 𝑚 ) · ( √ ‘ 𝑑 ) ) )
84	83	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) = ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( ( √ ‘ 𝑚 ) · ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) )
85	77	rpsqrtcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( √ ‘ 𝑚 ) ∈ ℝ+ )
86	85	rpcnne0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( ( √ ‘ 𝑚 ) ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
87	80	rpsqrtcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( √ ‘ 𝑑 ) ∈ ℝ+ )
88	87	rpcnne0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( ( √ ‘ 𝑑 ) ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ 𝑑 ) ≠ 0 ) )
89		divdiv1	⊢ ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( √ ‘ 𝑚 ) ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) ∧ ( ( √ ‘ 𝑑 ) ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ 𝑑 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) = ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( ( √ ‘ 𝑚 ) · ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) )
90	60 86 88 89	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) = ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( ( √ ‘ 𝑚 ) · ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) )
91	84 90	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) )
92	91	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) = Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) )
93	92	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) )
94	93	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) )
95		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ℝ+ )
96	95	rpred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
97		reflcl	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
98	96 97	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
99	98	ltp1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ 𝑥 ) < ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) )
100		fzdisj	⊢ ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) < ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) → ( ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∩ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) = ∅ )
101	99 100	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∩ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) = ∅ )
102	101	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∩ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) = ∅ )
103	95	rprege0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) )
104		flge0nn0	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) → ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ∈ ℕ0 )
105		nn0p1nn	⊢ ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ∈ ℕ0 → ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ℕ )
106	103 104 105	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ℕ )
107		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
108	106 107	eleqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
109	108	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
110	96	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
111		2z	⊢ 2 ∈ ℤ
112		rpexpcl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℝ+ )
113	95 111 112	sylancl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℝ+ )
114	113	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℝ+ )
115	114	rpred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℝ )
116	110	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
117	116	mulid1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 · 1 ) = 𝑥 )
118		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 1 ≤ 𝑥 )
119		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 1 ∈ ℝ )
120		rpregt0	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ) )
121	120	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ) )
122		lemul2	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ) ) → ( 1 ≤ 𝑥 ↔ ( 𝑥 · 1 ) ≤ ( 𝑥 · 𝑥 ) ) )
123	119 110 121 122	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 1 ≤ 𝑥 ↔ ( 𝑥 · 1 ) ≤ ( 𝑥 · 𝑥 ) ) )
124	118 123	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 · 1 ) ≤ ( 𝑥 · 𝑥 ) )
125	117 124	eqbrtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑥 · 𝑥 ) )
126	116	sqvald	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) = ( 𝑥 · 𝑥 ) )
127	125 126	breqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑥 ↑ 2 ) )
128		flword2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) )
129	110 115 127 128	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) )
130		fzsplit2	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∧ ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) = ( ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∪ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) )
131	109 129 130	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) = ( ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∪ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) )
132		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ∈ Fin )
133	92 72	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ∈ ℂ )
134	133	adantlrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) ) → Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ∈ ℂ )
135	102 131 132 134	fsumsplit	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) )
136	94 135	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) )
137	136	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ) )
138	75 137	eqled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) + Σ 𝑚 ∈ ( ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) + 1 ) ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ 𝑑 ) ) ) ) )
139	13 52 53 73 138	o1le	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑚 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑥 ↑ 2 ) ) ) Σ 𝑑 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) / 𝑚 ) ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑚 ) ) / ( √ ‘ ( 𝑚 · 𝑑 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1) )