Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dchrmhm.g |
โข ๐บ = ( DChr โ ๐ ) |
2 |
|
dchrmhm.z |
โข ๐ = ( โค/nโค โ ๐ ) |
3 |
|
dchrmhm.b |
โข ๐ท = ( Base โ ๐บ ) |
4 |
|
dchrn0.b |
โข ๐ต = ( Base โ ๐ ) |
5 |
|
dchrn0.u |
โข ๐ = ( Unit โ ๐ ) |
6 |
|
dchr1cl.o |
โข 1 = ( ๐ โ ๐ต โฆ if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ) |
7 |
|
dchrmullid.t |
โข ยท = ( +g โ ๐บ ) |
8 |
|
dchrmullid.x |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ท ) |
9 |
1 3
|
dchrrcl |
โข ( ๐ โ ๐ท โ ๐ โ โ ) |
10 |
8 9
|
syl |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
11 |
1 2 3 4 5 6 10
|
dchr1cl |
โข ( ๐ โ 1 โ ๐ท ) |
12 |
1 2 3 7 11 8
|
dchrmul |
โข ( ๐ โ ( 1 ยท ๐ ) = ( 1 โf ยท ๐ ) ) |
13 |
|
oveq1 |
โข ( 1 = if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) โ ( 1 ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
14 |
13
|
eqeq1d |
โข ( 1 = if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) โ ( ( 1 ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ๐ ) โ ( if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
15 |
|
oveq1 |
โข ( 0 = if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) โ ( 0 ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
16 |
15
|
eqeq1d |
โข ( 0 = if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) โ ( ( 0 ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ๐ ) โ ( if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
17 |
1 2 3 4 8
|
dchrf |
โข ( ๐ โ ๐ : ๐ต โถ โ ) |
18 |
17
|
ffvelcdmda |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
19 |
18
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
20 |
19
|
mullidd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( 1 ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
21 |
|
0cn |
โข 0 โ โ |
22 |
21
|
mul02i |
โข ( 0 ยท 0 ) = 0 |
23 |
1 2 4 5 10 3
|
dchrelbas2 |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ท โ ( ๐ โ ( ( mulGrp โ ๐ ) MndHom ( mulGrp โ โfld ) ) โง โ ๐ โ ๐ต ( ( ๐ โ ๐ ) โ 0 โ ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
24 |
8 23
|
mpbid |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ( ( mulGrp โ ๐ ) MndHom ( mulGrp โ โfld ) ) โง โ ๐ โ ๐ต ( ( ๐ โ ๐ ) โ 0 โ ๐ โ ๐ ) ) ) |
25 |
24
|
simprd |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ๐ต ( ( ๐ โ ๐ ) โ 0 โ ๐ โ ๐ ) ) |
26 |
25
|
r19.21bi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) โ 0 โ ๐ โ ๐ ) ) |
27 |
26
|
necon1bd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โ ( ยฌ ๐ โ ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) ) |
28 |
27
|
imp |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โง ยฌ ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
29 |
28
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โง ยฌ ๐ โ ๐ ) โ ( 0 ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( 0 ยท 0 ) ) |
30 |
22 29 28
|
3eqtr4a |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โง ยฌ ๐ โ ๐ ) โ ( 0 ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
31 |
14 16 20 30
|
ifbothda |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โ ( if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
32 |
31
|
mpteq2dva |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ต โฆ ( if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ต โฆ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
33 |
4
|
fvexi |
โข ๐ต โ V |
34 |
33
|
a1i |
โข ( ๐ โ ๐ต โ V ) |
35 |
|
ax-1cn |
โข 1 โ โ |
36 |
35 21
|
ifcli |
โข if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) โ โ |
37 |
36
|
a1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ต ) โ if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) โ โ ) |
38 |
6
|
a1i |
โข ( ๐ โ 1 = ( ๐ โ ๐ต โฆ if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ) ) |
39 |
17
|
feqmptd |
โข ( ๐ โ ๐ = ( ๐ โ ๐ต โฆ ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
40 |
34 37 18 38 39
|
offval2 |
โข ( ๐ โ ( 1 โf ยท ๐ ) = ( ๐ โ ๐ต โฆ ( if ( ๐ โ ๐ , 1 , 0 ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
41 |
32 40 39
|
3eqtr4d |
โข ( ๐ โ ( 1 โf ยท ๐ ) = ๐ ) |
42 |
12 41
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( 1 ยท ๐ ) = ๐ ) |