| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
derang.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ Fin ↦ ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝑥 –1-1-onto→ 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 2 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → 𝐴 ≈ 𝐵 ) |
| 3 |
|
bren |
⊢ ( 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃ 𝑠 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 4 |
2 3
|
sylib |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ∃ 𝑠 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 5 |
|
deranglem |
⊢ ( 𝐵 ∈ Fin → { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin ) |
| 6 |
5
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin ) |
| 7 |
|
f1oco |
⊢ ( ( 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 8 |
7
|
ad2ant2lr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 9 |
|
f1ocnv |
⊢ ( 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → ◡ 𝑠 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 ) |
| 10 |
9
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ◡ 𝑠 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 ) |
| 11 |
|
f1oco |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ◡ 𝑠 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 ) → ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 12 |
8 10 11
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 13 |
|
coass |
⊢ ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) = ( 𝑠 ∘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ) |
| 14 |
13
|
fveq1i |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑠 ∘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ) ‘ 𝑧 ) |
| 15 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ) |
| 16 |
|
f1oco |
⊢ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ◡ 𝑠 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 ) → ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 ) |
| 17 |
15 10 16
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 ) |
| 18 |
|
f1of |
⊢ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 → ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 ⟶ 𝐴 ) |
| 19 |
17 18
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 ⟶ 𝐴 ) |
| 20 |
|
fvco3 |
⊢ ( ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 ⟶ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑠 ∘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑠 ‘ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 21 |
19 20
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑠 ∘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑠 ‘ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 22 |
14 21
|
eqtrid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑠 ‘ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 23 |
|
f1of |
⊢ ( ◡ 𝑠 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 → ◡ 𝑠 : 𝐵 ⟶ 𝐴 ) |
| 24 |
10 23
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ◡ 𝑠 : 𝐵 ⟶ 𝐴 ) |
| 25 |
|
fvco3 |
⊢ ( ( ◡ 𝑠 : 𝐵 ⟶ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑔 ‘ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 26 |
24 25
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑔 ‘ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 27 |
24
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐴 ) |
| 28 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) |
| 29 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 ‘ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 30 |
|
id |
⊢ ( 𝑦 = ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) → 𝑦 = ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) |
| 31 |
29 30
|
neeq12d |
⊢ ( 𝑦 = ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ↔ ( 𝑔 ‘ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) ≠ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 32 |
31
|
rspcv |
⊢ ( ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 → ( 𝑔 ‘ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) ≠ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 33 |
27 28 32
|
sylc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑔 ‘ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) ≠ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) |
| 34 |
26 33
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ≠ ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ) |
| 35 |
34
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ≠ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) |
| 36 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 37 |
19
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐴 ) |
| 38 |
|
f1ocnvfv |
⊢ ( ( 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑠 ‘ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) = 𝑧 → ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 39 |
36 37 38
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑠 ‘ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) = 𝑧 → ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
| 40 |
39
|
necon3d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( ◡ 𝑠 ‘ 𝑧 ) ≠ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) → ( 𝑠 ‘ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) ≠ 𝑧 ) ) |
| 41 |
35 40
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑠 ‘ ( ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ) ≠ 𝑧 ) |
| 42 |
22 41
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ≠ 𝑧 ) |
| 43 |
42
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ≠ 𝑧 ) |
| 44 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ) |
| 45 |
|
id |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → 𝑧 = 𝑦 ) |
| 46 |
44 45
|
neeq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ≠ 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 47 |
46
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑧 ) ≠ 𝑧 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) |
| 48 |
43 47
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) |
| 49 |
12 48
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 50 |
49
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) → ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) |
| 51 |
|
vex |
⊢ 𝑔 ∈ V |
| 52 |
|
f1oeq1 |
⊢ ( 𝑓 = 𝑔 → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ↔ 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ) ) |
| 53 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑓 = 𝑔 → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ) |
| 54 |
53
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑓 = 𝑔 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ↔ ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 55 |
54
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑓 = 𝑔 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 56 |
52 55
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑓 = 𝑔 → ( ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ↔ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) |
| 57 |
51 56
|
elab |
⊢ ( 𝑔 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ↔ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 58 |
|
vex |
⊢ 𝑠 ∈ V |
| 59 |
58 51
|
coex |
⊢ ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∈ V |
| 60 |
58
|
cnvex |
⊢ ◡ 𝑠 ∈ V |
| 61 |
59 60
|
coex |
⊢ ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ∈ V |
| 62 |
|
f1oeq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) → ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ↔ ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ) ) |
| 63 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ) |
| 64 |
63
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑓 = ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ↔ ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 65 |
64
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑓 = ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 66 |
62 65
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑓 = ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) → ( ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ↔ ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) |
| 67 |
61 66
|
elab |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ↔ ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 68 |
50 57 67
|
3imtr4g |
⊢ ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) → ( 𝑔 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } → ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 69 |
|
vex |
⊢ ℎ ∈ V |
| 70 |
|
f1oeq1 |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ↔ ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ) ) |
| 71 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( ℎ ‘ 𝑦 ) ) |
| 72 |
71
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ↔ ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 73 |
72
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 74 |
70 73
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑓 = ℎ → ( ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ↔ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) |
| 75 |
69 74
|
elab |
⊢ ( ℎ ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ↔ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) |
| 76 |
57 75
|
anbi12i |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∧ ℎ ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ↔ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) |
| 77 |
9
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ◡ 𝑠 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 ) |
| 78 |
|
f1ofo |
⊢ ( ◡ 𝑠 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 → ◡ 𝑠 : 𝐵 –onto→ 𝐴 ) |
| 79 |
77 78
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ◡ 𝑠 : 𝐵 –onto→ 𝐴 ) |
| 80 |
8
|
adantrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 81 |
|
f1ofn |
⊢ ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) Fn 𝐴 ) |
| 82 |
80 81
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) Fn 𝐴 ) |
| 83 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 84 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ) |
| 85 |
|
f1oco |
⊢ ( ( 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∘ ℎ ) : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 86 |
83 84 85
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑠 ∘ ℎ ) : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) |
| 87 |
|
f1ofn |
⊢ ( ( 𝑠 ∘ ℎ ) : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → ( 𝑠 ∘ ℎ ) Fn 𝐴 ) |
| 88 |
86 87
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑠 ∘ ℎ ) Fn 𝐴 ) |
| 89 |
|
cocan2 |
⊢ ( ( ◡ 𝑠 : 𝐵 –onto→ 𝐴 ∧ ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) Fn 𝐴 ∧ ( 𝑠 ∘ ℎ ) Fn 𝐴 ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) = ( ( 𝑠 ∘ ℎ ) ∘ ◡ 𝑠 ) ↔ ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) = ( 𝑠 ∘ ℎ ) ) ) |
| 90 |
79 82 88 89
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) = ( ( 𝑠 ∘ ℎ ) ∘ ◡ 𝑠 ) ↔ ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) = ( 𝑠 ∘ ℎ ) ) ) |
| 91 |
|
f1of1 |
⊢ ( 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → 𝑠 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) |
| 92 |
91
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → 𝑠 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) |
| 93 |
|
simprll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ) |
| 94 |
|
f1of |
⊢ ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 → 𝑔 : 𝐴 ⟶ 𝐴 ) |
| 95 |
93 94
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → 𝑔 : 𝐴 ⟶ 𝐴 ) |
| 96 |
|
f1of |
⊢ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 → ℎ : 𝐴 ⟶ 𝐴 ) |
| 97 |
84 96
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ℎ : 𝐴 ⟶ 𝐴 ) |
| 98 |
|
cocan1 |
⊢ ( ( 𝑠 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ∧ 𝑔 : 𝐴 ⟶ 𝐴 ∧ ℎ : 𝐴 ⟶ 𝐴 ) → ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) = ( 𝑠 ∘ ℎ ) ↔ 𝑔 = ℎ ) ) |
| 99 |
92 95 97 98
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) = ( 𝑠 ∘ ℎ ) ↔ 𝑔 = ℎ ) ) |
| 100 |
90 99
|
bitrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) = ( ( 𝑠 ∘ ℎ ) ∘ ◡ 𝑠 ) ↔ 𝑔 = ℎ ) ) |
| 101 |
100
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑔 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑔 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ∧ ( ℎ : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ℎ ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) = ( ( 𝑠 ∘ ℎ ) ∘ ◡ 𝑠 ) ↔ 𝑔 = ℎ ) ) ) |
| 102 |
76 101
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) → ( ( 𝑔 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∧ ℎ ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) → ( ( ( 𝑠 ∘ 𝑔 ) ∘ ◡ 𝑠 ) = ( ( 𝑠 ∘ ℎ ) ∘ ◡ 𝑠 ) ↔ 𝑔 = ℎ ) ) ) |
| 103 |
68 102
|
dom2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) ∧ 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 ) → ( { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin → { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ≼ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 104 |
103
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → ( { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin → { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ≼ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) ) |
| 105 |
104
|
exlimdv |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( ∃ 𝑠 𝑠 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → ( { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin → { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ≼ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) ) |
| 106 |
4 6 105
|
mp2d |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ≼ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) |
| 107 |
|
enfii |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ Fin ) |
| 108 |
107
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → 𝐴 ∈ Fin ) |
| 109 |
|
deranglem |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin ) |
| 110 |
108 109
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin ) |
| 111 |
|
hashdom |
⊢ ( ( { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ≤ ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ↔ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ≼ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 112 |
110 6 111
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ≤ ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ↔ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ≼ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 113 |
106 112
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ≤ ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 114 |
1
|
derangval |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( 𝐷 ‘ 𝐴 ) = ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 115 |
108 114
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( 𝐷 ‘ 𝐴 ) = ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 116 |
1
|
derangval |
⊢ ( 𝐵 ∈ Fin → ( 𝐷 ‘ 𝐵 ) = ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 117 |
116
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( 𝐷 ‘ 𝐵 ) = ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
| 118 |
113 115 117
|
3brtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( 𝐷 ‘ 𝐴 ) ≤ ( 𝐷 ‘ 𝐵 ) ) |