Metamath Proof Explorer


Definition df-abs

Description: Define the function for the absolute value (modulus) of a complex number. See abscli for its closure and absval or absval2i for its value. For example, ( abs-u 2 ) = 2 ( ex-abs ). (Contributed by NM, 27-Jul-1999)

Ref Expression
Assertion df-abs abs = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ( โˆš โ€˜ ( ๐‘ฅ ยท ( โˆ— โ€˜ ๐‘ฅ ) ) ) )

Detailed syntax breakdown

Step Hyp Ref Expression
0 cabs โŠข abs
1 vx โŠข ๐‘ฅ
2 cc โŠข โ„‚
3 csqrt โŠข โˆš
4 1 cv โŠข ๐‘ฅ
5 cmul โŠข ยท
6 ccj โŠข โˆ—
7 4 6 cfv โŠข ( โˆ— โ€˜ ๐‘ฅ )
8 4 7 5 co โŠข ( ๐‘ฅ ยท ( โˆ— โ€˜ ๐‘ฅ ) )
9 8 3 cfv โŠข ( โˆš โ€˜ ( ๐‘ฅ ยท ( โˆ— โ€˜ ๐‘ฅ ) ) )
10 1 2 9 cmpt โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ( โˆš โ€˜ ( ๐‘ฅ ยท ( โˆ— โ€˜ ๐‘ฅ ) ) ) )
11 0 10 wceq โŠข abs = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ( โˆš โ€˜ ( ๐‘ฅ ยท ( โˆ— โ€˜ ๐‘ฅ ) ) ) )