Theorem difinf

Description: An infinite set A minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009)

	Ref	Expression
Assertion	difinf	⊢ ( ( ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ¬ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∪ 𝐵 ) ∈ Fin )
2		undif1	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∪ 𝐵 ) = ( 𝐴 ∪ 𝐵 )
3	2	eleq1i	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∪ 𝐵 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ Fin )
4		unfir	⊢ ( ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ Fin → ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) )
5	4	simpld	⊢ ( ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin )
6	3 5	sylbi	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∪ 𝐵 ) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin )
7	1 6	syl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → 𝐴 ∈ Fin )
8	7	expcom	⊢ ( 𝐵 ∈ Fin → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin ) )
9	8	con3d	⊢ ( 𝐵 ∈ Fin → ( ¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin ) )
10	9	impcom	⊢ ( ( ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ¬ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ Fin )