Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
difexg |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∈ V ) |
2 |
|
enrefg |
⊢ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∈ V → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ) |
4 |
3
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ) |
5 |
|
sneq |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → { 𝐴 } = { 𝐵 } ) |
6 |
5
|
difeq2d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) = ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) |
7 |
6
|
breq2d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ↔ ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) ) |
8 |
4 7
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) ) |
9 |
8
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 = 𝐵 ) → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) |
10 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
11 |
|
difexg |
⊢ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∈ V → ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∈ V ) |
12 |
|
enrefg |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∈ V → ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ≈ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ) |
13 |
10 1 11 12
|
4syl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ≈ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ) |
14 |
|
dif32 |
⊢ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) = ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) |
15 |
13 14
|
breqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ≈ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ) |
16 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐵 ∈ 𝑋 ) |
17 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
18 |
|
en2sn |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → { 𝐵 } ≈ { 𝐴 } ) |
19 |
16 17 18
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { 𝐵 } ≈ { 𝐴 } ) |
20 |
|
incom |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∩ { 𝐵 } ) = ( { 𝐵 } ∩ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ) |
21 |
|
disjdif |
⊢ ( { 𝐵 } ∩ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ) = ∅ |
22 |
20 21
|
eqtri |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∩ { 𝐵 } ) = ∅ |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∩ { 𝐵 } ) = ∅ ) |
24 |
|
incom |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∩ { 𝐴 } ) = ( { 𝐴 } ∩ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ) |
25 |
|
disjdif |
⊢ ( { 𝐴 } ∩ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ) = ∅ |
26 |
24 25
|
eqtri |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∩ { 𝐴 } ) = ∅ |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∩ { 𝐴 } ) = ∅ ) |
28 |
|
unen |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ≈ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∧ { 𝐵 } ≈ { 𝐴 } ) ∧ ( ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∩ { 𝐵 } ) = ∅ ∧ ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∩ { 𝐴 } ) = ∅ ) ) → ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∪ { 𝐵 } ) ≈ ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∪ { 𝐴 } ) ) |
29 |
15 19 23 27 28
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∪ { 𝐵 } ) ≈ ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∪ { 𝐴 } ) ) |
30 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
31 |
30
|
necomd |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
32 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ) |
33 |
16 31 32
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ) |
34 |
|
difsnid |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) → ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∪ { 𝐵 } ) = ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ) |
35 |
33 34
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ∖ { 𝐵 } ) ∪ { 𝐵 } ) = ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ) |
36 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ↔ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) |
37 |
17 30 36
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) |
38 |
|
difsnid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) → ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∪ { 𝐴 } ) = ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐴 } ) ∪ { 𝐴 } ) = ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) |
40 |
29 35 39
|
3brtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) |
41 |
9 40
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∖ { 𝐴 } ) ≈ ( 𝑋 ∖ { 𝐵 } ) ) |