Metamath Proof Explorer

Theorem dihglblem5apreN

Description: A conjunction property of isomorphism H. TODO: reduce antecedent size; general review for shorter proof. (Contributed by NM, 21-Mar-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihglblem5a.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.i ⊢ 𝐼 = ( ( DIsoH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.p ⊢ 𝑃 = ( ( oc ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.g ⊢ 𝐺 = ( ℩ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ‘ 𝑃 ) = 𝑞 )
dihglblem5a.o ⊢ 0 = ( ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
Assertion dihglblem5apreN ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihglblem5a.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 dihglblem5a.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3 dihglblem5a.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
4 dihglblem5a.i ⊢ 𝐼 = ( ( DIsoH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 dihglblem5a.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
6 dihglblem5a.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
7 dihglblem5a.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
8 dihglblem5a.p ⊢ 𝑃 = ( ( oc ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 dihglblem5a.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
10 dihglblem5a.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
11 dihglblem5a.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
12 dihglblem5a.g ⊢ 𝐺 = ( ℩ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ‘ 𝑃 ) = 𝑞 )
13 dihglblem5a.o ⊢ 0 = ( ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
14 hllat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
15 14 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
16 simprl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
17 1 3 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
18 17 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
19 1 5 2 latmle1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑋 )
20 15 16 18 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑋 )
21 simpl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
22 1 2 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
23 15 16 18 22 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
24 1 5 3 4 dihord ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑋 ) )
25 21 23 16 24 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑋 ) )
26 20 25 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) )
27 1 5 2 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
28 15 16 18 27 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
29 1 5 3 4 dihord ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 ) )
30 21 23 18 29 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 ) )
31 28 30 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) )
32 26 31 ssind ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ⊆ ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) )
33 3 4 dihvalrel ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → Rel ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) )
34 relin1 ⊢ ( Rel ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) → Rel ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) )
35 33 34 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → Rel ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) )
36 35 adantr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → Rel ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) )
37 elin ⊢ ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) ↔ ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) )
38 1 5 6 2 7 3 lhpmcvr2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) )
39 vex ⊢ 𝑓 ∈ V
40 vex ⊢ 𝑠 ∈ V
41 1 5 6 2 7 3 8 9 10 11 4 12 39 40 dihopelvalc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ) )
42 id ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
43 17 adantl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
44 1 5 latref ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → 𝑊 ≤ 𝑊 )
45 14 17 44 syl2an ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → 𝑊 ≤ 𝑊 )
46 1 5 3 9 10 13 4 dihopelvalbN ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ≤ 𝑊 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
47 42 43 45 46 syl12anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
48 47 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
49 41 48 anbi12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) )
50 simprll ⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
51 50 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
52 simprrr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑠 = 0 )
53 52 fveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) = ( 0 ‘ 𝐺 ) )
54 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
55 5 7 3 8 lhpocnel2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
56 54 55 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
57 simpl3l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) )
58 5 7 3 9 12 ltrniotacl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
59 54 56 57 58 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
60 13 1 tendo02 ⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( 0 ‘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
61 59 60 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 0 ‘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
62 53 61 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
63 62 cnveqd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) = ◡ ( I ↾ 𝐵 ) )
64 cnvresid ⊢ ◡ ( I ↾ 𝐵 ) = ( I ↾ 𝐵 )
65 63 64 eqtrdi ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
66 65 coeq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
67 1 3 9 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
68 54 51 67 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
69 f1of ⊢ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → 𝑓 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
70 fcoi1 ⊢ ( 𝑓 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( 𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝑓 )
71 68 69 70 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝑓 )
72 66 71 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) = 𝑓 )
73 72 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) )
74 simprlr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 )
75 73 74 eqbrtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑋 )
76 5 3 9 10 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 )
77 54 51 76 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 )
78 simpl1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
79 78 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
80 1 3 9 10 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐵 )
81 54 51 80 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐵 )
82 simpl2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
83 simpl1r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
84 83 17 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
85 1 5 2 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )
86 79 81 82 84 85 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )
87 75 77 86 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) )
88 51 87 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )
89 79 82 84 22 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
90 79 82 84 27 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
91 1 5 3 9 10 13 4 dihopelvalbN ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
92 54 89 90 91 syl12anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
93 88 52 92 mpbir2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )
94 93 ex ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) )
95 49 94 sylbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) )
96 95 3expia ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
97 96 exp4c ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 → ( ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) ) )
98 97 imp4a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) )
99 98 rexlimdv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
100 38 99 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) )
101 37 100 biimtrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) )
102 36 101 relssdv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )
103 32 102 eqssd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑊 ) ) )