Theorem dirkerf

Description: For any natural number N , the Dirichlet Kernel ( DN ) is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypothesis	dirkerf.1	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
Assertion	dirkerf	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) : ℝ ⟶ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerf.1	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
2	1	dirkerval2	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) = if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) )
3	1	dirkerre	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
4	2 3	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
5	4	fmpttd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) : ℝ ⟶ ℝ )
6	1	dirkerval	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) )
7	6	feq1d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) : ℝ ⟶ ℝ ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑦 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑦 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ) ) : ℝ ⟶ ℝ ) )
8	5 7	mpbird	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) : ℝ ⟶ ℝ )