Theorem divdiv1

Description: Division into a fraction. (Contributed by NM, 31-Dec-2007)

	Ref	Expression
Assertion	divdiv1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) = ( 𝐴 / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0	⊢ 1 ≠ 0
3	1 2	pm3.2i	⊢ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 )
4		divdivdiv	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
5	3 4	mpanr2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
6	5	3impa	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
7		div1	⊢ ( 𝐶 ∈ ℂ → ( 𝐶 / 1 ) = 𝐶 )
8	7	oveq2d	⊢ ( 𝐶 ∈ ℂ → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) )
9	8	ad2antrl	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) )
10	9	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) )
11		mulid1	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 · 1 ) = 𝐴 )
12	11	oveq1d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐴 / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
13	12	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐴 / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
14	6 10 13	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) = ( 𝐴 / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )