Theorem domssl

Description: If A is a subset of B and C dominates B , then C also dominates A . (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2024)

	Ref	Expression
Assertion	domssl	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ) → 𝐵 ≼ 𝐶 )
2		reldom	⊢ Rel ≼
3	2	brrelex12i	⊢ ( 𝐵 ≼ 𝐶 → ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) )
4		simpl	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → 𝐴 ⊆ 𝐵 )
5		ssexg	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V ) → 𝐴 ∈ V )
6	5	adantrr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → 𝐴 ∈ V )
7		simprr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → 𝐶 ∈ V )
8	4 6 7	jca32	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) )
9	3 8	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ) → ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) )
10		brdomi	⊢ ( 𝐵 ≼ 𝐶 → ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐵 –1-1→ 𝐶 )
11		f1ssres	⊢ ( ( 𝑓 : 𝐵 –1-1→ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ) → ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) : 𝐴 –1-1→ 𝐶 )
12		vex	⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	resex	⊢ ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) ∈ V
14		f1dom4g	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ∧ ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) : 𝐴 –1-1→ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 )
15	13 14	mp3anl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ∧ ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) : 𝐴 –1-1→ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 )
16	15	ancoms	⊢ ( ( ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) : 𝐴 –1-1→ 𝐶 ∧ ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → 𝐴 ≼ 𝐶 )
17	11 16	sylan	⊢ ( ( ( 𝑓 : 𝐵 –1-1→ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → 𝐴 ≼ 𝐶 )
18	17	expl	⊢ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1→ 𝐶 → ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → 𝐴 ≼ 𝐶 ) )
19	18	exlimiv	⊢ ( ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐵 –1-1→ 𝐶 → ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → 𝐴 ≼ 𝐶 ) )
20	10 19	syl	⊢ ( 𝐵 ≼ 𝐶 → ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ) ) → 𝐴 ≼ 𝐶 ) )
21	1 9 20	sylc	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 )