Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dsmmlss.i |
โข ( ๐ โ ๐ผ โ ๐ ) |
2 |
|
dsmmlss.s |
โข ( ๐ โ ๐ โ Ring ) |
3 |
|
dsmmlss.r |
โข ( ๐ โ ๐
: ๐ผ โถ LMod ) |
4 |
|
dsmmlss.k |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) = ๐ ) |
5 |
|
dsmmlss.p |
โข ๐ = ( ๐ Xs ๐
) |
6 |
|
dsmmlss.u |
โข ๐ = ( LSubSp โ ๐ ) |
7 |
|
dsmmlss.h |
โข ๐ป = ( Base โ ( ๐ โm ๐
) ) |
8 |
|
lmodgrp |
โข ( ๐ โ LMod โ ๐ โ Grp ) |
9 |
8
|
ssriv |
โข LMod โ Grp |
10 |
|
fss |
โข ( ( ๐
: ๐ผ โถ LMod โง LMod โ Grp ) โ ๐
: ๐ผ โถ Grp ) |
11 |
3 9 10
|
sylancl |
โข ( ๐ โ ๐
: ๐ผ โถ Grp ) |
12 |
5 7 1 2 11
|
dsmmsubg |
โข ( ๐ โ ๐ป โ ( SubGrp โ ๐ ) ) |
13 |
5 2 1 3 4
|
prdslmodd |
โข ( ๐ โ ๐ โ LMod ) |
14 |
13
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ๐ โ LMod ) |
15 |
|
simprl |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
16 |
|
simprr |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ๐ โ ๐ป ) |
17 |
|
eqid |
โข ( ๐ โm ๐
) = ( ๐ โm ๐
) |
18 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐ ) = ( Base โ ๐ ) |
19 |
3
|
ffnd |
โข ( ๐ โ ๐
Fn ๐ผ ) |
20 |
5 17 18 7 1 19
|
dsmmelbas |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ป โ ( ๐ โ ( Base โ ๐ ) โง { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ๐ โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } โ Fin ) ) ) |
21 |
20
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ( ๐ โ ๐ป โ ( ๐ โ ( Base โ ๐ ) โง { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ๐ โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } โ Fin ) ) ) |
22 |
16 21
|
mpbid |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ( ๐ โ ( Base โ ๐ ) โง { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ๐ โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } โ Fin ) ) |
23 |
22
|
simpld |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ๐ โ ( Base โ ๐ ) ) |
24 |
|
eqid |
โข ( Scalar โ ๐ ) = ( Scalar โ ๐ ) |
25 |
|
eqid |
โข ( ยท๐ โ ๐ ) = ( ยท๐ โ ๐ ) |
26 |
|
eqid |
โข ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) = ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) |
27 |
18 24 25 26
|
lmodvscl |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ( Base โ ๐ ) ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
28 |
14 15 23 27
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) ) |
29 |
22
|
simprd |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ๐ โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } โ Fin ) |
30 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐ ) = ( Base โ ๐ ) |
31 |
2
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐ โ Ring ) |
32 |
1
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐ผ โ ๐ ) |
33 |
19
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐
Fn ๐ผ ) |
34 |
3 1
|
fexd |
โข ( ๐ โ ๐
โ V ) |
35 |
5 2 34
|
prdssca |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Scalar โ ๐ ) ) |
36 |
35
|
fveq2d |
โข ( ๐ โ ( Base โ ๐ ) = ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
37 |
36
|
eleq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ( Base โ ๐ ) โ ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) ) |
38 |
37
|
biimpar |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) โ ๐ โ ( Base โ ๐ ) ) |
39 |
38
|
adantrr |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ๐ โ ( Base โ ๐ ) ) |
40 |
39
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐ โ ( Base โ ๐ ) ) |
41 |
23
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐ โ ( Base โ ๐ ) ) |
42 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐ฅ โ ๐ผ ) |
43 |
5 18 25 30 31 32 33 40 41 42
|
prdsvscafval |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) = ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( ๐ โ ๐ฅ ) ) ) |
44 |
43
|
adantrr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ( ๐ฅ โ ๐ผ โง ( ๐ โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) = ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( ๐ โ ๐ฅ ) ) ) |
45 |
3
|
ffvelrnda |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( ๐
โ ๐ฅ ) โ LMod ) |
46 |
45
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( ๐
โ ๐ฅ ) โ LMod ) |
47 |
|
simplrl |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
48 |
35
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐ = ( Scalar โ ๐ ) ) |
49 |
4 48
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) = ( Scalar โ ๐ ) ) |
50 |
49
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( Base โ ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) = ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
51 |
50
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( Base โ ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) = ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
52 |
47 51
|
eleqtrrd |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) |
53 |
|
eqid |
โข ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) = ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) |
54 |
|
eqid |
โข ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) = ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) |
55 |
|
eqid |
โข ( Base โ ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) = ( Base โ ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) |
56 |
|
eqid |
โข ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) |
57 |
53 54 55 56
|
lmodvs0 |
โข ( ( ( ๐
โ ๐ฅ ) โ LMod โง ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) |
58 |
46 52 57
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) |
59 |
|
oveq2 |
โข ( ( ๐ โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( ๐ โ ๐ฅ ) ) = ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) |
60 |
59
|
eqeq1d |
โข ( ( ๐ โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( ๐ โ ๐ฅ ) ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) |
61 |
58 60
|
syl5ibrcom |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( ( ๐ โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( ๐ โ ๐ฅ ) ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) |
62 |
61
|
impr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ( ๐ฅ โ ๐ผ โง ( ๐ โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ( ๐ โ ๐ฅ ) ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) |
63 |
44 62
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ( ๐ฅ โ ๐ผ โง ( ๐ โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) |
64 |
63
|
expr |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( ( ๐ โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) = ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) |
65 |
64
|
necon3d |
โข ( ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โง ๐ฅ โ ๐ผ ) โ ( ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) โ ( ๐ โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) ) ) |
66 |
65
|
ss2rabdv |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } โ { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ๐ โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } ) |
67 |
29 66
|
ssfid |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } โ Fin ) |
68 |
5 17 18 7 1 19
|
dsmmelbas |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ป โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) โง { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } โ Fin ) ) ) |
69 |
68
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ป โ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ( Base โ ๐ ) โง { ๐ฅ โ ๐ผ โฃ ( ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ฅ ) โ ( 0g โ ( ๐
โ ๐ฅ ) ) } โ Fin ) ) ) |
70 |
28 67 69
|
mpbir2and |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ๐ โ ๐ป ) ) โ ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ป ) |
71 |
70
|
ralrimivva |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ๐ โ ๐ป ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ป ) |
72 |
24 26 18 25 6
|
islss4 |
โข ( ๐ โ LMod โ ( ๐ป โ ๐ โ ( ๐ป โ ( SubGrp โ ๐ ) โง โ ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ๐ โ ๐ป ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ป ) ) ) |
73 |
13 72
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ป โ ๐ โ ( ๐ป โ ( SubGrp โ ๐ ) โง โ ๐ โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ๐ โ ๐ป ( ๐ ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ป ) ) ) |
74 |
12 71 73
|
mpbir2and |
โข ( ๐ โ ๐ป โ ๐ ) |