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Theorem dvaddbr

Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016) Remove unnecessary hypotheses. (Revised by GG, 10-Apr-2025)

Ref Expression
Hypotheses dvadd.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ℂ )
dvadd.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆 )
dvadd.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : 𝑌 ⟶ ℂ )
dvadd.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆 )
dvaddbr.s ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ )
dvadd.bf ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ( 𝑆 D 𝐹 ) 𝐾 )
dvadd.bg ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ( 𝑆 D 𝐺 ) 𝐿 )
dvadd.j ⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ ℂfld )
Assertion dvaddbr ( 𝜑 → 𝐶 ( 𝑆 D ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ( 𝐾 + 𝐿 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvadd.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ℂ )
2 dvadd.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆 )
3 dvadd.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : 𝑌 ⟶ ℂ )
4 dvadd.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆 )
5 dvaddbr.s ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ )
6 dvadd.bf ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ( 𝑆 D 𝐹 ) 𝐾 )
7 dvadd.bg ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ( 𝑆 D 𝐺 ) 𝐿 )
8 dvadd.j ⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ ℂfld )
9 eqid ⊢ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) = ( 𝐽 ↾t 𝑆 )
10 eqid ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) )
11 9 8 10 5 1 2 eldv ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ( 𝑆 D 𝐹 ) 𝐾 ↔ ( 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) ) ) )
12 6 11 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) ) )
13 12 simpld ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) )
14 eqid ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) )
15 9 8 14 5 3 4 eldv ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ( 𝑆 D 𝐺 ) 𝐿 ↔ ( 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐿 ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) ) ) )
16 7 15 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐿 ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) ) )
17 16 simpld ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑌 ) )
18 13 17 elind ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ∩ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑌 ) ) )
19 8 cnfldtopon ⊢ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ℂ )
20 resttopon ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ) → ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) )
21 19 5 20 sylancr ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) )
22 topontop ⊢ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) → ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top )
23 21 22 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top )
24 toponuni ⊢ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) → 𝑆 = ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
25 21 24 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 = ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
26 2 25 sseqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
27 4 25 sseqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
28 eqid ⊢ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 )
29 28 ntrin ⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) = ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ∩ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑌 ) ) )
30 23 26 27 29 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) = ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ∩ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑌 ) ) )
31 18 30 eleqtrrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
32 inss1 ⊢ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑋
33 ssdif ⊢ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑋 → ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ⊆ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) )
34 32 33 mp1i ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ⊆ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) )
35 34 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) )
36 2 5 sstrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ )
37 28 ntrss2 ⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝑋 )
38 23 26 37 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝑋 )
39 38 13 sseldd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋 )
40 1 36 39 dvlem ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
41 35 40 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
42 inss2 ⊢ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑌
43 ssdif ⊢ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑌 → ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ⊆ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) )
44 42 43 mp1i ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ⊆ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) )
45 44 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) )
46 4 5 sstrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ )
47 28 ntrss2 ⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑌 ) ⊆ 𝑌 )
48 23 27 47 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑌 ) ⊆ 𝑌 )
49 48 17 sseldd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑌 )
50 3 46 49 dvlem ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
51 45 50 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
52 ssidd ⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
53 txtopon ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ∧ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ) → ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∈ ( TopOn ‘ ( ℂ × ℂ ) ) )
54 19 19 53 mp2an ⊢ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∈ ( TopOn ‘ ( ℂ × ℂ ) )
55 54 toponrestid ⊢ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) = ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ↾t ( ℂ × ℂ ) )
56 12 simprd ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
57 40 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) : ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ⟶ ℂ )
58 36 ssdifssd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ⊆ ℂ )
59 eqid ⊢ ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) = ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) )
60 32 2 sstrid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑆 )
61 60 25 sseqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
62 difssd ⊢ ( 𝜑 → ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
63 61 62 unssd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
64 ssun1 ⊢ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) )
65 64 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) )
66 28 ntrss ⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∧ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ) → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) ⊆ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ) )
67 23 63 65 66 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) ⊆ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ) )
68 67 31 sseldd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ) )
69 68 39 elind ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ) ∩ 𝑋 ) )
70 32 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑋 )
71 eqid ⊢ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑋 ) = ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑋 )
72 28 71 restntr ⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∧ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) = ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ) ∩ 𝑋 ) )
73 23 26 70 72 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) = ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ) ∩ 𝑋 ) )
74 8 cnfldtop ⊢ 𝐽 ∈ Top
75 74 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ Top )
76 cnex ⊢ ℂ ∈ V
77 ssexg ⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V ) → 𝑆 ∈ V )
78 5 76 77 sylancl ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ V )
79 restabs ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑋 ) = ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) )
80 75 2 78 79 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑋 ) = ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) )
81 80 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( int ‘ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑋 ) ) = ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) ) )
82 81 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) = ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
83 73 82 eqtr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑋 ) ) ) ∩ 𝑋 ) = ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
84 69 83 eleqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
85 undif1 ⊢ ( ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) = ( 𝑋 ∪ { 𝐶 } )
86 39 snssd ⊢ ( 𝜑 → { 𝐶 } ⊆ 𝑋 )
87 ssequn2 ⊢ ( { 𝐶 } ⊆ 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∪ { 𝐶 } ) = 𝑋 )
88 86 87 sylib ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∪ { 𝐶 } ) = 𝑋 )
89 85 88 eqtrid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) = 𝑋 )
90 89 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) = ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) )
91 90 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( int ‘ ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) ) = ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) ) )
92 undif1 ⊢ ( ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) = ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ { 𝐶 } )
93 39 49 elind ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) )
94 93 snssd ⊢ ( 𝜑 → { 𝐶 } ⊆ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) )
95 ssequn2 ⊢ ( { 𝐶 } ⊆ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ { 𝐶 } ) = ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) )
96 94 95 sylib ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ { 𝐶 } ) = ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) )
97 92 96 eqtrid ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) = ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) )
98 91 97 fveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) = ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑋 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
99 84 98 eleqtrrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) )
100 57 34 58 8 59 99 limcres ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) limℂ 𝐶 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
101 34 resmptd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) = ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) )
102 101 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) limℂ 𝐶 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
103 100 102 eqtr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
104 56 103 eleqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
105 16 simprd ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
106 50 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) : ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ⟶ ℂ )
107 46 ssdifssd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ⊆ ℂ )
108 eqid ⊢ ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) = ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) )
109 difssd ⊢ ( 𝜑 → ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
110 61 109 unssd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) )
111 ssun1 ⊢ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) )
112 111 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) )
113 28 ntrss ⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∧ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ) → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) ⊆ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ) )
114 23 110 112 113 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) ⊆ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ) )
115 114 31 sseldd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ) )
116 115 49 elind ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ) ∩ 𝑌 ) )
117 42 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑌 )
118 eqid ⊢ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑌 ) = ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑌 )
119 28 118 restntr ⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∧ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⊆ 𝑌 ) → ( ( int ‘ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑌 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) = ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ) ∩ 𝑌 ) )
120 23 27 117 119 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑌 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) = ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ) ∩ 𝑌 ) )
121 restabs ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑌 ) = ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) )
122 75 4 78 121 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑌 ) = ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) )
123 122 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( int ‘ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑌 ) ) = ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) ) )
124 123 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ↾t 𝑌 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) = ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
125 120 124 eqtr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∪ ( ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∖ 𝑌 ) ) ) ∩ 𝑌 ) = ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
126 116 125 eleqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
127 undif1 ⊢ ( ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) = ( 𝑌 ∪ { 𝐶 } )
128 49 snssd ⊢ ( 𝜑 → { 𝐶 } ⊆ 𝑌 )
129 ssequn2 ⊢ ( { 𝐶 } ⊆ 𝑌 ↔ ( 𝑌 ∪ { 𝐶 } ) = 𝑌 )
130 128 129 sylib ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∪ { 𝐶 } ) = 𝑌 )
131 127 130 eqtrid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) = 𝑌 )
132 131 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) = ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) )
133 132 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( int ‘ ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) ) = ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) ) )
134 133 97 fveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) = ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑌 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) )
135 126 134 eleqtrrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t ( ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ∪ { 𝐶 } ) ) )
136 106 44 107 8 108 135 limcres ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) limℂ 𝐶 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
137 44 resmptd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) = ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) )
138 137 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) limℂ 𝐶 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
139 136 138 eqtr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑌 ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
140 105 139 eleqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
141 8 addcn ⊢ + ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 )
142 5 1 2 dvcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ( 𝑆 D 𝐹 ) 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
143 6 142 mpdan ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ )
144 5 3 4 dvcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ( 𝑆 D 𝐺 ) 𝐿 ) → 𝐿 ∈ ℂ )
145 7 144 mpdan ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ )
146 143 145 opelxpd ⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐾 , 𝐿 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) )
147 54 toponunii ⊢ ( ℂ × ℂ ) = ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 )
148 147 cncnpi ⊢ ( ( + ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) ∧ ⟨ 𝐾 , 𝐿 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) ) → + ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) CnP 𝐽 ) ‘ ⟨ 𝐾 , 𝐿 ⟩ ) )
149 141 146 148 sylancr ⊢ ( 𝜑 → + ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) CnP 𝐽 ) ‘ ⟨ 𝐾 , 𝐿 ⟩ ) )
150 41 51 52 52 8 55 104 140 149 limccnp2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 𝐿 ) ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) + ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
151 eldifi ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) → 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) )
152 151 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) )
153 1 ffnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋 )
154 153 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝐹 Fn 𝑋 )
155 3 ffnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 Fn 𝑌 )
156 155 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝐺 Fn 𝑌 )
157 ssexg ⊢ ( ( 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V ) → 𝑋 ∈ V )
158 36 76 157 sylancl ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ V )
159 158 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝑋 ∈ V )
160 ssexg ⊢ ( ( 𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V ) → 𝑌 ∈ V )
161 46 76 160 sylancl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ V )
162 161 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝑌 ∈ V )
163 eqid ⊢ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∩ 𝑌 )
164 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
165 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑌 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
166 154 156 159 162 163 164 165 ofval ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) → ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
167 152 166 mpdan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
168 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) )
169 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑌 ) → ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) = ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) )
170 154 156 159 162 163 168 169 ofval ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) → ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) + ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) )
171 93 170 mpidan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) + ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) )
172 167 171 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) + ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) ) )
173 difss ⊢ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ⊆ ( 𝑋 ∩ 𝑌 )
174 173 32 sstri ⊢ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ⊆ 𝑋
175 174 sseli ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) → 𝑧 ∈ 𝑋 )
176 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
177 1 175 176 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
178 173 42 sstri ⊢ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ⊆ 𝑌
179 178 sseli ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) → 𝑧 ∈ 𝑌 )
180 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐺 : 𝑌 ⟶ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑌 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
181 3 179 180 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
182 1 39 ffvelcdmd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ∈ ℂ )
183 182 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ∈ ℂ )
184 3 49 ffvelcdmd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ∈ ℂ )
185 184 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ∈ ℂ )
186 177 181 183 185 addsub4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) + ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) + ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) ) )
187 172 186 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) + ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) ) )
188 187 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) + ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) )
189 177 183 subcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
190 181 185 subcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
191 174 36 sstrid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ⊆ ℂ )
192 191 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝑧 ∈ ℂ )
193 36 39 sseldd ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
194 193 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
195 192 194 subcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( 𝑧 − 𝐶 ) ∈ ℂ )
196 eldifsni ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) → 𝑧 ≠ 𝐶 )
197 196 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → 𝑧 ≠ 𝐶 )
198 192 194 197 subne0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( 𝑧 − 𝐶 ) ≠ 0 )
199 189 190 195 198 divdird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) + ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) + ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) )
200 188 199 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) + ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) )
201 200 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) + ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ) )
202 201 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) = ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) + ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
203 150 202 eleqtrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 𝐿 ) ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) )
204 eqid ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) )
205 addcl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ℂ )
206 205 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ℂ )
207 206 1 3 158 161 163 off ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) : ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ⟶ ℂ )
208 9 8 204 5 207 60 eldv ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ( 𝑆 D ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ( 𝐾 + 𝐿 ) ↔ ( 𝐶 ∈ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ) ‘ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐾 + 𝐿 ) ∈ ( ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∖ { 𝐶 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ‘ 𝐶 ) ) / ( 𝑧 − 𝐶 ) ) ) limℂ 𝐶 ) ) ) )
209 31 203 208 mpbir2and ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ( 𝑆 D ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ( 𝐾 + 𝐿 ) )