Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvfsumabs.m |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( โคโฅ โ ๐ ) ) |
2 |
|
dvfsumabs.a |
โข ( ๐ โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ด ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) ) |
3 |
|
dvfsumabs.v |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ ๐ต โ ๐ ) |
4 |
|
dvfsumabs.b |
โข ( ๐ โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ๐ด ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ๐ต ) ) |
5 |
|
dvfsumabs.c |
โข ( ๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐ถ ) |
6 |
|
dvfsumabs.d |
โข ( ๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐ท ) |
7 |
|
dvfsumabs.x |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
8 |
|
dvfsumabs.y |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
9 |
|
dvfsumabs.l |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) ) โ ( abs โ ( ๐ โ ๐ต ) ) โค ๐ ) |
10 |
|
fzofi |
โข ( ๐ ..^ ๐ ) โ Fin |
11 |
10
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) โ Fin ) |
12 |
|
eluzel2 |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ ๐ ) โ ๐ โ โค ) |
13 |
1 12
|
syl |
โข ( ๐ โ ๐ โ โค ) |
14 |
|
eluzelz |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ ๐ ) โ ๐ โ โค ) |
15 |
1 14
|
syl |
โข ( ๐ โ ๐ โ โค ) |
16 |
|
fzval2 |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ ... ๐ ) = ( ( ๐ [,] ๐ ) โฉ โค ) ) |
17 |
13 15 16
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) = ( ( ๐ [,] ๐ ) โฉ โค ) ) |
18 |
|
inss1 |
โข ( ( ๐ [,] ๐ ) โฉ โค ) โ ( ๐ [,] ๐ ) |
19 |
17 18
|
eqsstrdi |
โข ( ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) โ ( ๐ [,] ๐ ) ) |
20 |
19
|
sselda |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ ๐ฆ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) |
21 |
|
cncff |
โข ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ด ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ด ) : ( ๐ [,] ๐ ) โถ โ ) |
22 |
2 21
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ด ) : ( ๐ [,] ๐ ) โถ โ ) |
23 |
|
eqid |
โข ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ด ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ด ) |
24 |
23
|
fmpt |
โข ( โ ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ๐ด โ โ โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ด ) : ( ๐ [,] ๐ ) โถ โ ) |
25 |
22 24
|
sylibr |
โข ( ๐ โ โ ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ๐ด โ โ ) |
26 |
|
nfcsb1v |
โข โฒ ๐ฅ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด |
27 |
26
|
nfel1 |
โข โฒ ๐ฅ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ |
28 |
|
csbeq1a |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ด = โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) |
29 |
28
|
eleq1d |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( ๐ด โ โ โ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) ) |
30 |
27 29
|
rspc |
โข ( ๐ฆ โ ( ๐ [,] ๐ ) โ ( โ ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ๐ด โ โ โ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) ) |
31 |
25 30
|
mpan9 |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) โ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) |
32 |
20 31
|
syldan |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) |
33 |
32
|
ralrimiva |
โข ( ๐ โ โ ๐ฆ โ ( ๐ ... ๐ ) โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) |
34 |
|
fzofzp1 |
โข ( ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) โ ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ ... ๐ ) ) |
35 |
|
csbeq1 |
โข ( ๐ฆ = ( ๐ + 1 ) โ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด = โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) |
36 |
35
|
eleq1d |
โข ( ๐ฆ = ( ๐ + 1 ) โ ( โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) ) |
37 |
36
|
rspccva |
โข ( ( โ ๐ฆ โ ( ๐ ... ๐ ) โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ โง ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) |
38 |
33 34 37
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) |
39 |
|
elfzofz |
โข ( ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) โ ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) ) |
40 |
|
csbeq1 |
โข ( ๐ฆ = ๐ โ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด = โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) |
41 |
40
|
eleq1d |
โข ( ๐ฆ = ๐ โ ( โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) ) |
42 |
41
|
rspccva |
โข ( ( โ ๐ฆ โ ( ๐ ... ๐ ) โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ โง ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) |
43 |
33 39 42
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โ ) |
44 |
38 43
|
subcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) โ โ ) |
45 |
11 7 44
|
fsumsub |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) = ( ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) |
46 |
|
vex |
โข ๐ฆ โ V |
47 |
46
|
a1i |
โข ( ๐ฆ = ๐ โ ๐ฆ โ V ) |
48 |
|
eqeq2 |
โข ( ๐ฆ = ๐ โ ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ฅ = ๐ ) ) |
49 |
48
|
biimpa |
โข ( ( ๐ฆ = ๐ โง ๐ฅ = ๐ฆ ) โ ๐ฅ = ๐ ) |
50 |
49 5
|
syl |
โข ( ( ๐ฆ = ๐ โง ๐ฅ = ๐ฆ ) โ ๐ด = ๐ถ ) |
51 |
47 50
|
csbied |
โข ( ๐ฆ = ๐ โ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด = ๐ถ ) |
52 |
46
|
a1i |
โข ( ๐ฆ = ๐ โ ๐ฆ โ V ) |
53 |
|
eqeq2 |
โข ( ๐ฆ = ๐ โ ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ฅ = ๐ ) ) |
54 |
53
|
biimpa |
โข ( ( ๐ฆ = ๐ โง ๐ฅ = ๐ฆ ) โ ๐ฅ = ๐ ) |
55 |
54 6
|
syl |
โข ( ( ๐ฆ = ๐ โง ๐ฅ = ๐ฆ ) โ ๐ด = ๐ท ) |
56 |
52 55
|
csbied |
โข ( ๐ฆ = ๐ โ โฆ ๐ฆ / ๐ฅ โฆ ๐ด = ๐ท ) |
57 |
40 35 51 56 1 32
|
telfsumo2 |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) = ( ๐ท โ ๐ถ ) ) |
58 |
57
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) = ( ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ โ ( ๐ท โ ๐ถ ) ) ) |
59 |
45 58
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) = ( ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ โ ( ๐ท โ ๐ถ ) ) ) |
60 |
59
|
fveq2d |
โข ( ๐ โ ( abs โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) = ( abs โ ( ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ โ ( ๐ท โ ๐ถ ) ) ) ) |
61 |
7 44
|
subcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) โ โ ) |
62 |
11 61
|
fsumcl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) โ โ ) |
63 |
62
|
abscld |
โข ( ๐ โ ( abs โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
64 |
61
|
abscld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( abs โ ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
65 |
11 64
|
fsumrecl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( abs โ ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
66 |
11 8
|
fsumrecl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ โ โ ) |
67 |
11 61
|
fsumabs |
โข ( ๐ โ ( abs โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( abs โ ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) ) |
68 |
|
elfzoelz |
โข ( ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) โ ๐ โ โค ) |
69 |
68
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โค ) |
70 |
69
|
zred |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
71 |
70
|
rexrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ* ) |
72 |
|
peano2re |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
73 |
70 72
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
74 |
73
|
rexrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ โ* ) |
75 |
70
|
lep1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โค ( ๐ + 1 ) ) |
76 |
|
ubicc2 |
โข ( ( ๐ โ โ* โง ( ๐ + 1 ) โ โ* โง ๐ โค ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) |
77 |
71 74 75 76
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) |
78 |
|
lbicc2 |
โข ( ( ๐ โ โ* โง ( ๐ + 1 ) โ โ* โง ๐ โค ( ๐ + 1 ) ) โ ๐ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) |
79 |
71 74 75 78
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) |
80 |
13
|
zred |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
81 |
80
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
82 |
15
|
zred |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
83 |
82
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
84 |
|
elfzole1 |
โข ( ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) โ ๐ โค ๐ ) |
85 |
84
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โค ๐ ) |
86 |
34
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ ... ๐ ) ) |
87 |
|
elfzle2 |
โข ( ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ ... ๐ ) โ ( ๐ + 1 ) โค ๐ ) |
88 |
86 87
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ + 1 ) โค ๐ ) |
89 |
|
iccss |
โข ( ( ( ๐ โ โ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โค ๐ โง ( ๐ + 1 ) โค ๐ ) ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ [,] ๐ ) ) |
90 |
81 83 85 88 89
|
syl22anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ [,] ๐ ) ) |
91 |
90
|
resmptd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โพ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) |
92 |
|
eqid |
โข ( TopOpen โ โfld ) = ( TopOpen โ โfld ) |
93 |
92
|
subcn |
โข โ โ ( ( ( TopOpen โ โfld ) รt ( TopOpen โ โfld ) ) Cn ( TopOpen โ โfld ) ) |
94 |
93
|
a1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ โ โ ( ( ( TopOpen โ โfld ) รt ( TopOpen โ โfld ) ) Cn ( TopOpen โ โfld ) ) ) |
95 |
|
iccssre |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ [,] ๐ ) โ โ ) |
96 |
80 82 95
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ( ๐ [,] ๐ ) โ โ ) |
97 |
96
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ [,] ๐ ) โ โ ) |
98 |
|
ax-resscn |
โข โ โ โ |
99 |
97 98
|
sstrdi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ [,] ๐ ) โ โ ) |
100 |
|
ssid |
โข โ โ โ |
101 |
100
|
a1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ โ โ โ ) |
102 |
|
cncfmptc |
โข ( ( ๐ โ โ โง ( ๐ [,] ๐ ) โ โ โง โ โ โ ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) ) |
103 |
7 99 101 102
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) ) |
104 |
|
cncfmptid |
โข ( ( ( ๐ [,] ๐ ) โ โ โง โ โ โ ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ฅ ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) ) |
105 |
99 100 104
|
sylancl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ฅ ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) ) |
106 |
103 105
|
mulcncf |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ( ๐ ยท ๐ฅ ) ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) ) |
107 |
2
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ๐ด ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) ) |
108 |
92 94 106 107
|
cncfmpt2f |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) ) |
109 |
|
rescncf |
โข ( ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ [,] ๐ ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ( ๐ [,] ๐ ) โcnโ โ ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โพ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โcnโ โ ) ) ) |
110 |
90 108 109
|
sylc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โพ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โcnโ โ ) ) |
111 |
91 110
|
eqeltrrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โcnโ โ ) ) |
112 |
98
|
a1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ โ โ โ ) |
113 |
90 97
|
sstrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โ โ ) |
114 |
90
|
sselda |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) โ ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) |
115 |
7
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
116 |
99
|
sselda |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) โ ๐ฅ โ โ ) |
117 |
115 116
|
mulcld |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) โ ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ โ ) |
118 |
25
|
r19.21bi |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) โ ๐ด โ โ ) |
119 |
118
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) โ ๐ด โ โ ) |
120 |
117 119
|
subcld |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) โ โ ) |
121 |
114 120
|
syldan |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) โ โ ) |
122 |
92
|
tgioo2 |
โข ( topGen โ ran (,) ) = ( ( TopOpen โ โfld ) โพt โ ) |
123 |
|
iccntr |
โข ( ( ๐ โ โ โง ( ๐ + 1 ) โ โ ) โ ( ( int โ ( topGen โ ran (,) ) ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) = ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) |
124 |
70 73 123
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( int โ ( topGen โ ran (,) ) ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) = ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) |
125 |
112 113 121 122 92 124
|
dvmptntr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) = ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) ) |
126 |
|
reelprrecn |
โข โ โ { โ , โ } |
127 |
126
|
a1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ โ โ { โ , โ } ) |
128 |
|
ioossicc |
โข ( ๐ (,) ๐ ) โ ( ๐ [,] ๐ ) |
129 |
128
|
sseli |
โข ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โ ๐ฅ โ ( ๐ [,] ๐ ) ) |
130 |
129 120
|
sylan2 |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) โ โ ) |
131 |
|
ovex |
โข ( ๐ โ ๐ต ) โ V |
132 |
131
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ ( ๐ โ ๐ต ) โ V ) |
133 |
129 117
|
sylan2 |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ โ ) |
134 |
7
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
135 |
128 99
|
sstrid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ (,) ๐ ) โ โ ) |
136 |
135
|
sselda |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ ๐ฅ โ โ ) |
137 |
|
1cnd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ 1 โ โ ) |
138 |
112
|
sselda |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ โ ) โ ๐ฅ โ โ ) |
139 |
|
1cnd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ โ ) โ 1 โ โ ) |
140 |
127
|
dvmptid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ โ โฆ ๐ฅ ) ) = ( ๐ฅ โ โ โฆ 1 ) ) |
141 |
128 97
|
sstrid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ (,) ๐ ) โ โ ) |
142 |
|
iooretop |
โข ( ๐ (,) ๐ ) โ ( topGen โ ran (,) ) |
143 |
142
|
a1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ (,) ๐ ) โ ( topGen โ ran (,) ) ) |
144 |
127 138 139 140 141 122 92 143
|
dvmptres |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ๐ฅ ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ 1 ) ) |
145 |
127 136 137 144 7
|
dvmptcmul |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ( ๐ ยท ๐ฅ ) ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ( ๐ ยท 1 ) ) ) |
146 |
7
|
mulid1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ ยท 1 ) = ๐ ) |
147 |
146
|
mpteq2dv |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ( ๐ ยท 1 ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ๐ ) ) |
148 |
145 147
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ( ๐ ยท ๐ฅ ) ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ๐ ) ) |
149 |
129 119
|
sylan2 |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ ๐ด โ โ ) |
150 |
3
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) ) โ ๐ต โ ๐ ) |
151 |
4
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ๐ด ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ๐ต ) ) |
152 |
127 133 134 148 149 150 151
|
dvmptsub |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ๐ ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) ) |
153 |
81
|
rexrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ* ) |
154 |
|
iooss1 |
โข ( ( ๐ โ โ* โง ๐ โค ๐ ) โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) |
155 |
153 85 154
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) |
156 |
83
|
rexrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ* ) |
157 |
|
iooss2 |
โข ( ( ๐ โ โ* โง ( ๐ + 1 ) โค ๐ ) โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ (,) ๐ ) ) |
158 |
156 88 157
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ (,) ๐ ) ) |
159 |
155 158
|
sstrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ (,) ๐ ) ) |
160 |
|
iooretop |
โข ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โ ( topGen โ ran (,) ) |
161 |
160
|
a1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โ ( topGen โ ran (,) ) ) |
162 |
127 130 132 152 159 122 92 161
|
dvmptres |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) ) |
163 |
125 162
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) ) |
164 |
163
|
dmeqd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ dom ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) = dom ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) ) |
165 |
|
eqid |
โข ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) |
166 |
131 165
|
dmmpti |
โข dom ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) = ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) |
167 |
164 166
|
eqtrdi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ dom ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) = ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) |
168 |
163
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) ) |
169 |
168
|
fveq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฅ ) = ( ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) โ ๐ฅ ) ) |
170 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) |
171 |
165
|
fvmpt2 |
โข ( ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โง ( ๐ โ ๐ต ) โ V ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) โ ๐ฅ ) = ( ๐ โ ๐ต ) ) |
172 |
170 131 171
|
sylancl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ๐ โ ๐ต ) ) โ ๐ฅ ) = ( ๐ โ ๐ต ) ) |
173 |
169 172
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฅ ) = ( ๐ โ ๐ต ) ) |
174 |
173
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฅ ) ) = ( abs โ ( ๐ โ ๐ต ) ) ) |
175 |
9
|
anassrs |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( abs โ ( ๐ โ ๐ต ) ) โค ๐ ) |
176 |
174 175
|
eqbrtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฅ ) ) โค ๐ ) |
177 |
176
|
ralrimiva |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ โ ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฅ ) ) โค ๐ ) |
178 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ abs |
179 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ โ |
180 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ D |
181 |
|
nfmpt1 |
โข โฒ ๐ฅ ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) |
182 |
179 180 181
|
nfov |
โข โฒ ๐ฅ ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) |
183 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ ๐ฆ |
184 |
182 183
|
nffv |
โข โฒ ๐ฅ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฆ ) |
185 |
178 184
|
nffv |
โข โฒ ๐ฅ ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฆ ) ) |
186 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ โค |
187 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ ๐ |
188 |
185 186 187
|
nfbr |
โข โฒ ๐ฅ ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฆ ) ) โค ๐ |
189 |
|
2fveq3 |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฅ ) ) = ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฆ ) ) ) |
190 |
189
|
breq1d |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฅ ) ) โค ๐ โ ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฆ ) ) โค ๐ ) ) |
191 |
188 190
|
rspc |
โข ( ๐ฆ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) โ ( โ ๐ฅ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฅ ) ) โค ๐ โ ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฆ ) ) โค ๐ ) ) |
192 |
177 191
|
mpan9 |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ๐ฆ โ ( ๐ (,) ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( abs โ ( ( โ D ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) ) โ ๐ฆ ) ) โค ๐ ) |
193 |
70 73 111 167 8 192
|
dvlip |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โง ( ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โง ๐ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) ) โ ( abs โ ( ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) ) โค ( ๐ ยท ( abs โ ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) ) ) |
194 |
193
|
ex |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โง ๐ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( abs โ ( ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) ) โค ( ๐ ยท ( abs โ ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) ) ) ) |
195 |
77 79 194
|
mp2and |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( abs โ ( ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) ) โค ( ๐ ยท ( abs โ ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) ) ) |
196 |
|
ovex |
โข ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) โ V |
197 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ ( ๐ + 1 ) |
198 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) |
199 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ โ |
200 |
|
nfcsb1v |
โข โฒ ๐ฅ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด |
201 |
198 199 200
|
nfov |
โข โฒ ๐ฅ ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) |
202 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ ยท ๐ฅ ) = ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) ) |
203 |
|
csbeq1a |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ + 1 ) โ ๐ด = โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) |
204 |
202 203
|
oveq12d |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ + 1 ) โ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) = ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) |
205 |
|
eqid |
โข ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) = ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) |
206 |
197 201 204 205
|
fvmptf |
โข ( ( ( ๐ + 1 ) โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โง ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) โ V ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ๐ + 1 ) ) = ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) |
207 |
77 196 206
|
sylancl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ๐ + 1 ) ) = ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) |
208 |
70
|
recnd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
209 |
7 208
|
mulcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ ยท ๐ ) โ โ ) |
210 |
209 43
|
subcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ๐ ยท ๐ ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) โ โ ) |
211 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ ๐ |
212 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ฅ ( ๐ ยท ๐ ) |
213 |
|
nfcsb1v |
โข โฒ ๐ฅ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด |
214 |
212 199 213
|
nfov |
โข โฒ ๐ฅ ( ( ๐ ยท ๐ ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) |
215 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฅ = ๐ โ ( ๐ ยท ๐ฅ ) = ( ๐ ยท ๐ ) ) |
216 |
|
csbeq1a |
โข ( ๐ฅ = ๐ โ ๐ด = โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) |
217 |
215 216
|
oveq12d |
โข ( ๐ฅ = ๐ โ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) = ( ( ๐ ยท ๐ ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) |
218 |
211 214 217 205
|
fvmptf |
โข ( ( ๐ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โง ( ( ๐ ยท ๐ ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) โ โ ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐ ยท ๐ ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) |
219 |
79 210 218
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐ ยท ๐ ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) |
220 |
207 219
|
oveq12d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) โ ( ( ๐ ยท ๐ ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) |
221 |
|
peano2cn |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
222 |
208 221
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
223 |
7 222
|
mulcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โ ) |
224 |
223 209 38 43
|
sub4d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ ยท ๐ ) ) โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) = ( ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด ) โ ( ( ๐ ยท ๐ ) โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) |
225 |
|
1cnd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ 1 โ โ ) |
226 |
208 225
|
pncan2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) = 1 ) |
227 |
226
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ ยท ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) = ( ๐ ยท 1 ) ) |
228 |
7 222 208
|
subdid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ ยท ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) = ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ ยท ๐ ) ) ) |
229 |
227 228 146
|
3eqtr3d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ ยท ๐ ) ) = ๐ ) |
230 |
229
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ( ( ๐ ยท ( ๐ + 1 ) ) โ ( ๐ ยท ๐ ) ) โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) = ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) |
231 |
220 224 230
|
3eqtr2rd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) = ( ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) ) |
232 |
231
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( abs โ ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) = ( abs โ ( ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( ( ๐ฅ โ ( ๐ [,] ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ ยท ๐ฅ ) โ ๐ด ) ) โ ๐ ) ) ) ) |
233 |
226
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( abs โ ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) = ( abs โ 1 ) ) |
234 |
|
abs1 |
โข ( abs โ 1 ) = 1 |
235 |
233 234
|
eqtrdi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( abs โ ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) = 1 ) |
236 |
235
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ ยท ( abs โ ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) ) = ( ๐ ยท 1 ) ) |
237 |
8
|
recnd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
238 |
237
|
mulid1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( ๐ ยท 1 ) = ๐ ) |
239 |
236 238
|
eqtr2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ๐ = ( ๐ ยท ( abs โ ( ( ๐ + 1 ) โ ๐ ) ) ) ) |
240 |
195 232 239
|
3brtr4d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ) โ ( abs โ ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) โค ๐ ) |
241 |
11 64 8 240
|
fsumle |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( abs โ ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ ) |
242 |
63 65 66 67 241
|
letrd |
โข ( ๐ โ ( abs โ ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ( ๐ โ ( โฆ ( ๐ + 1 ) / ๐ฅ โฆ ๐ด โ โฆ ๐ / ๐ฅ โฆ ๐ด ) ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ ) |
243 |
60 242
|
eqbrtrrd |
โข ( ๐ โ ( abs โ ( ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ โ ( ๐ท โ ๐ถ ) ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( ๐ ..^ ๐ ) ๐ ) |