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Theorem dvmptdiv

Description: Function-builder for derivative, quotient rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses dvmptdiv.s ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
dvmptdiv.a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
dvmptdiv.b ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
dvmptdiv.da ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) )
dvmptdiv.c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐶 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
dvmptdiv.d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ℂ )
dvmptdiv.dc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷 ) )
Assertion dvmptdiv ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 / 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐷 · 𝐴 ) ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvmptdiv.s ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2 dvmptdiv.a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
3 dvmptdiv.b ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
4 dvmptdiv.da ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) )
5 dvmptdiv.c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐶 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
6 dvmptdiv.d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ℂ )
7 dvmptdiv.dc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷 ) )
8 5 eldifad ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
9 eldifsn ⊢ ( 𝐶 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) )
10 5 9 sylib ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) )
11 10 simprd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐶 ≠ 0 )
12 2 8 11 divrecd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 / 𝐶 ) = ( 𝐴 · ( 1 / 𝐶 ) ) )
13 12 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 / 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · ( 1 / 𝐶 ) ) ) )
14 13 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 / 𝐶 ) ) ) = ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · ( 1 / 𝐶 ) ) ) ) )
15 8 11 reccld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 / 𝐶 ) ∈ ℂ )
16 1cnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 1 ∈ ℂ )
17 16 6 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · 𝐷 ) ∈ ℂ )
18 8 sqcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
19 11 neneqd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ¬ 𝐶 = 0 )
20 sqeq0 ⊢ ( 𝐶 ∈ ℂ → ( ( 𝐶 ↑ 2 ) = 0 ↔ 𝐶 = 0 ) )
21 8 20 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ↑ 2 ) = 0 ↔ 𝐶 = 0 ) )
22 19 21 mtbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ¬ ( 𝐶 ↑ 2 ) = 0 )
23 22 neqned ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 ↑ 2 ) ≠ 0 )
24 17 18 23 divcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
25 24 negcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
26 1cnd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ )
27 1 26 5 6 7 dvrecg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 1 / 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
28 1 2 3 4 15 25 27 dvmptmul ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · ( 1 / 𝐶 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) + ( - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) ) ) )
29 1 2 3 4 dvmptcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
30 29 8 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
31 30 18 23 divcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
32 6 2 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐷 · 𝐴 ) ∈ ℂ )
33 32 18 23 divcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
34 31 33 negsubd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) + - ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) − ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
35 29 16 8 11 div12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) = ( 1 · ( 𝐵 / 𝐶 ) ) )
36 29 8 11 divcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 / 𝐶 ) ∈ ℂ )
37 36 mullidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( 𝐵 / 𝐶 ) )
38 8 sqvald ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 ↑ 2 ) = ( 𝐶 · 𝐶 ) )
39 38 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 · 𝐶 ) ) )
40 29 8 8 11 11 divcan5rd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 · 𝐶 ) ) = ( 𝐵 / 𝐶 ) )
41 39 40 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 / 𝐶 ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) )
42 35 37 41 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) )
43 6 mullidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · 𝐷 ) = 𝐷 )
44 43 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) = ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) )
45 44 negeqd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) = - ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) )
46 45 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) = ( - ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) )
47 6 18 23 divcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
48 47 2 mulneg1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( - ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) = - ( ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) )
49 6 2 18 23 div23d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) )
50 49 eqcomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) = ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) )
51 50 negeqd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → - ( ( 𝐷 / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) = - ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) )
52 46 48 51 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) = - ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) )
53 42 52 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) + ( - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) + - ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
54 30 32 18 23 divsubdird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐷 · 𝐴 ) ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) − ( ( 𝐷 · 𝐴 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
55 34 53 54 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) + ( - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐷 · 𝐴 ) ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) )
56 55 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) + ( - ( ( 1 · 𝐷 ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) · 𝐴 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐷 · 𝐴 ) ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
57 14 28 56 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 / 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐷 · 𝐴 ) ) / ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )