Theorem dvnmul

Description: Function-builder for the N -th derivative, product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	dvnmul.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
	dvnmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
	dvnmul.a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
	dvnmul.cc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
	dvnmul.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	dvnmulf	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 )
	dvnmul.f	⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 )
	dvnmul.dvnf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnmul.dvng	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnmul.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
	dvnmul.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
Assertion	dvnmul	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnmul.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2		dvnmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
3		dvnmul.a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
4		dvnmul.cc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
5		dvnmul.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
6		dvnmulf	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 )
7		dvnmul.f	⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 )
8		dvnmul.dvnf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
9		dvnmul.dvng	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
10		dvnmul.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
11		dvnmul.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
12		id	⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
13		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
14	5 13	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
15		eluzfz2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
16	14 15	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
17		eleq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
18		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) )
19		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝑁 ) )
20	19	sumeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
21		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 C 𝑘 ) = ( 𝑁 C 𝑘 ) )
22		fvoveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) )
23	22	fveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
24	23	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
25	21 24	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
26	25	sumeq2sdv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
27	20 26	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
28	27	mpteq2dv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
29	18 28	eqeq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
30	29	imbi2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
31	17 30	imbi12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
32		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) )
33		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 0 )
34	33	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 0 ) )
35		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → 𝑚 = 0 )
36	35	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 0 C 𝑘 ) )
37	35	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) )
38	37	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
39	38	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
40	36 39	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
41	34 40	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
42	41	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
43	32 42	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
44	43	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
45		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
46		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 𝑖 )
47	46	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑖 ) )
48		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑚 = 𝑖 )
49	48	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C 𝑘 ) )
50	48	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
51	50	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
52	51	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
53	49 52	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
54	47 53	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
55	54	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
56	45 55	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
57	56	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
58		fveq2	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
59		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) )
60	59	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
61		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) )
62	61	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
63	61	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
64	63	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
65	64	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
66	62 65	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
67	60 66	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
68	67	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
69	58 68	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
70	69	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
71		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) )
72		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 𝑛 )
73	72	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑛 ) )
74		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → 𝑚 = 𝑛 )
75	74	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 𝑛 C 𝑘 ) )
76	74	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) )
77	76	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
78	77	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
79	75 78	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
80	73 79	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
81	80	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
82	71 81	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
83	82	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
84		recnprss	⊢ ( 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } → 𝑆 ⊆ ℂ )
85	1 84	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ )
86	3 4	mulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
87		restsspw	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ⊆ 𝒫 𝑆
88	87 2	sselid	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 )
89		elpwi	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆 )
90	88 89	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆 )
91		cnex	⊢ ℂ ∈ V
92	91	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℂ ∈ V )
93	86 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
94		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
95	85 93 94	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
96		0z	⊢ 0 ∈ ℤ
97		fzsn	⊢ ( 0 ∈ ℤ → ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
98	96 97	ax-mp	⊢ ( 0 ... 0 ) = { 0 }
99	98	sumeq1i	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
100	99	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
101		nfcvd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Ⅎ 𝑘 ( 𝐴 · 𝐵 ) )
102		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
103		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = ( 0 C 0 ) )
104		0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0
105		bcn0	⊢ ( 0 ∈ ℕ0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
106	104 105	ax-mp	⊢ ( 0 C 0 ) = 1
107	106	a1i	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
108	103 107	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
109	108	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
110		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) )
111	110	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) )
112		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
113	112	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
114	10 113	eqtri	⊢ 𝐶 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
115		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
116		eluzfz1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
117	14 116	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
118		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) ∈ V )
119	114 115 117 118	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
120	119	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
121	111 120	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
122	3 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
123	6 122	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
124		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
125	85 123 124	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
126	125	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
127	121 126	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = 𝐹 )
128	127	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
129	128	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
130		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
131	6	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
132	130 3 131	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
133	132	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
134	129 133	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
135		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = ( 0 − 0 ) )
136		0m0e0	⊢ ( 0 − 0 ) = 0
137	136	a1i	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 0 ) = 0 )
138	135 137	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = 0 )
139	138	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
140	139	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
141	140	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
142	141	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
143		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
144	143	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
145	11 144	eqtri	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
146	145	fveq1i	⊢ ( 𝐷 ‘ 0 ) = ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 )
147	146	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) = ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 ) )
148		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) )
149		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) )
150	149	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) )
151	4 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
152	7 151	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
153		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
154	85 152 153	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
155	154	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
156	150 155	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = 𝐺 )
157	7	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) )
158		mptexg	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ V )
159	88 158	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ V )
160	157 159	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ V )
161	148 156 117 160	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
162	147 161	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) = 𝐺 )
163	162	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
164	163	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
165	157 4	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
166	165	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
167	142 164 166	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
168	134 167	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
169	109 168	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
170	86	mulid2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
171	170	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
172	169 171	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
173		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
174	173	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
175	101 102 172 174 86	sumsnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
176	100 175	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
177	176	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
178	95 177	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
179	178	a1i	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
180		simp3	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝜑 )
181		simp1	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
182		simp2	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
183		pm3.35	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
184	180 182 183	syl2anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
185	85	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
186	93	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
187		elfzonn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
188	187	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
189		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
190	185 186 188 189	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
191	190	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
192		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
193	192	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
194		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 )
195		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
196	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
197	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
198		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 0 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
199	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
200		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
201	200	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
202	199 201	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
203	202	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
204	203	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
205	204	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
206		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝜑 )
207		0zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ∈ ℤ )
208		elfzoel2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
209	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
210		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ 𝑘 )
211	210	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
212	201	zred	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
213	208	zred	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ )
214	213	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
215	187	nn0red	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
216	215	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
217		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ≤ 𝑖 )
218	217	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑖 )
219		elfzolt2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 < 𝑁 )
220	219	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 < 𝑁 )
221	212 216 214 218 220	lelttrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 < 𝑁 )
222	212 214 221	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
223	207 209 201 211 222	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
224	223	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
225	10	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
226		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
227	225 226	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
228	227	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
229	8 228	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
230	206 224 229	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
231	230	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
232		simp3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
233	231 232	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
234	187	nn0zd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
235	234	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
236	235 201	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℤ )
237		elfzel2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
238	237	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
239	200	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
240	238 239	subge0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝑖 ) )
241	217 240	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) )
242	241	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) )
243	216 212	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
244	214 212	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
245	173	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ∈ ℝ )
246	214 245	jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) )
247		resubcl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
248	246 247	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
249	216 214 212 220	ltsub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < ( 𝑁 − 𝑘 ) )
250	245 212 214 211	lesub2dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
251	243 244 248 249 250	ltletrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < ( 𝑁 − 0 ) )
252	213	recnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℂ )
253	252	subid1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
254	253	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
255	251 254	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < 𝑁 )
256	243 214 255	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
257	207 209 236 242 256	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
258	257	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
259		ovex	⊢ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ V
260		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
261	260	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
262		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
263	262	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
264	261 263	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
265		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
266		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
267	266	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
268		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) )
269	268	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
270	267 269	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
271	265 270 9	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
272	259 264 271	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
273	206 258 272	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
274		fveq2	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
275		fvexd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ∈ V )
276	145 274 257 275	fvmptd3	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
277	276	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
278	277	feq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
279	273 278	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
280	279	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
281	280 232	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
282	233 281	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
283	205 282	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
284	205	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
285	235	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
286	285 201	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ )
287		peano2re	⊢ ( 𝑖 ∈ ℝ → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
288	238 287	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
289		peano2re	⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
290	239 289	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
291	239	ltp1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
292		1red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 1 ∈ ℝ )
293	239 238 292 217	leadd1dd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
294	239 290 288 291 293	ltletrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 < ( 𝑖 + 1 ) )
295	239 288 294	ltled	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
296	295	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
297	216 287	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
298	297 212	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
299	296 298	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
300	297 212	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
301		elfzop1le2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
302	301	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
303	297 214 212 302	lesub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 𝑘 ) )
304	250 254	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
305	300 244 214 303 304	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
306	207 209 286 299 305	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
307	306	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
308		ovex	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ V
309		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
310	309	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
311		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
312	311	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
313	310 312	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
314	308 313 271	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
315	206 307 314	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
316	145	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) )
317		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) → 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
318	317	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
319		fvexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ∈ V )
320	316 318 307 319	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
321	320	feq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
322	315 321	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
323	322	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
324	233	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
325	323 324	mulcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
326	325	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
327	201	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ )
328	173	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℝ )
329	328 239 290 210 291	lelttrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 < ( 𝑘 + 1 ) )
330	328 290 329	ltled	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) )
331	330	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) )
332	212 289	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
333	293	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
334	332 297 214 333 302	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑁 )
335	207 209 327 331 334	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
336	335	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
337		ovex	⊢ ( 𝑘 + 1 ) ∈ V
338		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
339	338	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
340		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
341	340	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
342	339 341	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
343		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
344		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
345	10 344	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑘 𝐶
346		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗
347	345 346	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 𝑗 )
348		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑋
349		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ℂ
350	347 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
351	343 350	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
352		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) )
353	352	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
354	267 353	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
355	351 354 229	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
356	337 342 355	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
357	206 336 356	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
358	357	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
359	281	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
360	358 359	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
361	323 324	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
362	360 361	addcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
363	326 362	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
364	284 363	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ )
365	364	3impa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ )
366	206 1	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
367	173	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
368	206 2	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
369	366 368 204	dvmptconst	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0 ) )
370	282	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
371	206 224 227	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
372	371	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) )
373	230	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) )
374	372 373	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
375	374	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
376	366 84	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
377	206 123	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
378		elfznn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
379	378	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
380		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
381	376 377 379 380	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
382	381	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
383		fveq2	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
384		fvexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ V )
385	114 383 336 384	fvmptd3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
386	385	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
387	357	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
388	386 387	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
389	375 382 388	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
390	277	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
391	279	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
392	390 391	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
393	392	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
394	206 152	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
395		fznn0sub	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
396	395	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
397		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
398	376 394 396 397	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
399	398	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) )
400	216	recnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℂ )
401		1cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 1 ∈ ℂ )
402	212	recnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
403	400 401 402	addsubd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) )
404	403	eqcomd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
405	404	fveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
406	405	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
407	320	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
408	322	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
409	406 407 408	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
410	393 399 409	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
411	366 324 358 389 359 323 410	dvmptmul	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
412	366 284 367 369 370 362 411	dvmptmul	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) ) )
413	370	mul02d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = 0 )
414	326	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) )
415	363 284	mulcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
416	414 415	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
417	413 416	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
418	364	addid2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
419	417 418	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
420	419	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
421	412 420	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
422	194 195 196 197 198 283 365 421	dvmptfsum	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
423	204	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
424	360	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
425		anass	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) )
426		ancom	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
427	426	anbi2i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
428		anass	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
429	428	bicomi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
430	427 429	bitri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
431	425 430	bitri	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
432	431	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) )
433	324 432	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
434	431	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) )
435	323 434	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
436	433 435	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
437	423 424 436	adddid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
438	437	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
439	198	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
440	423 424	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
441	423 436	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
442	439 440 441	fsumadd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
443		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑖 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C ℎ ) )
444		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) )
445	444	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
446		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑖 − 𝑘 ) = ( 𝑖 − ℎ ) )
447	446	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) )
448	447	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) )
449	445 448	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
450	443 449	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
451		nfcv	⊢ Ⅎ ℎ ( 0 ... 𝑖 )
452		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 0 ... 𝑖 )
453		nfcv	⊢ Ⅎ ℎ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
454		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C ℎ )
455		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ·
456		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ℎ + 1 )
457	345 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) )
458		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑥
459	457 458	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 )
460		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
461	11 460	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑘 𝐷
462		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 − ℎ )
463	461 462	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) )
464	463 458	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 )
465	459 455 464	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) )
466	454 455 465	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
467	450 451 452 453 466	cbvsum	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
468	467	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
469		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 1 ∈ ℤ )
470	96	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℤ )
471	234	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
472		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
473		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ℎ
474	473 452	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 )
475	472 474	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
476	466 349	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ
477	475 476	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
478		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ↔ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
479	478	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
480	450	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ↔ ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) )
481	479 480	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) ) )
482	477 481 440	chvarfv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
483		oveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 C ℎ ) = ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) )
484		fvoveq1	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
485	484	fveq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
486		oveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 − ℎ ) = ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) )
487	486	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
488	487	fveq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
489	485 488	oveq12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
490	483 489	oveq12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
491	469 470 471 482 490	fsumshft	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
492	468 491	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
493		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
494	493	oveq1i	⊢ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) )
495	494	sumeq1i	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
496	495	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
497		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
498	497	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
499		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ∈ ℂ )
500	498 499	npcand	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
501	500	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) )
502	501	fveq1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) )
503	502	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) )
504	215	recnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℂ )
505	504	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℂ )
506	498	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
507	499	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
508	505 506 507	subsub3d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
509	508	fveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) )
510	509	fveq1d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) )
511	503 510	oveq12d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
512	511	oveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
513	512	sumeq2dv	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
514	513	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
515		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
516		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
517		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin )
518	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
519	497	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
520		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
521	519 520	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
522	518 521	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
523	522	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
524	523	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
525	524	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
526	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
527		0zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℤ )
528	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
529	173	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ∈ ℝ )
530	497	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
531		1red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
532		0lt1	⊢ 0 < 1
533	532	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 < 1 )
534		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
535	529 531 530 533 534	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 < 𝑗 )
536	529 530 535	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
537	536	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
538	530	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
539	215	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
540		1red	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
541	539 540	readdcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
542	213	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
543		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
544	543	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
545	301	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
546	538 541 542 544 545	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ 𝑁 )
547	527 528 519 537 546	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
548	547	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
549	526 548 355	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
550	549	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
551		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
552	550 551	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
553	234	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
554	553	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
555	554 519	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℤ )
556	541 538	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
557	544 556	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
558	541 538	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℝ )
559	558	leidd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
560	530 535	elrpd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ+ )
561	560	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ+ )
562	541 561	ltsubrpd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < ( 𝑖 + 1 ) )
563	558 541 542 562 545	ltletrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < 𝑁 )
564	558 558 542 559 563	lelttrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < 𝑁 )
565	558 542 564	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ 𝑁 )
566	527 528 555 557 565	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
567	566	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
568		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
569		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 )
570	461 569	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
571	570 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
572	568 571	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
573		ovex	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ V
574		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
575	574	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
576		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) )
577	576	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
578	575 577	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
579	11	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ) )
580		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
581	579 580	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
582	581	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
583	9 582	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
584	572 573 578 583	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
585	526 567 584	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
586	585	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
587	586 551	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
588	552 587	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
589	525 588	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
590		1zzd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℤ )
591	234	peano2zd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
592	493	eqcomi	⊢ 1 = ( 0 + 1 )
593	592	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 = ( 0 + 1 ) )
594	173	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ∈ ℝ )
595		1red	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℝ )
596	187	nn0ge0d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ≤ 𝑖 )
597	594 215 595 596	leadd1dd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 0 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
598	593 597	eqbrtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
599	590 591 598	3jca	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
600		eluz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
601	599 600	sylibr	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
602		eluzfz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
603	601 602	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
604	603	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
605		oveq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑗 − 1 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) )
606	605	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) )
607		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
608	607	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
609		oveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
610	609	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
611	610	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
612	608 611	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
613	606 612	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
614	515 516 517 589 604 613	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
615		1cnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℂ )
616	504 615	pncand	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) = 𝑖 )
617	616	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑖 C 𝑖 ) )
618		bcnn	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 C 𝑖 ) = 1 )
619	187 618	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C 𝑖 ) = 1 )
620	617 619	eqtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) = 1 )
621	504 615	addcld	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℂ )
622	621	subidd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) = 0 )
623	622	fveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
624	623	fveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
625	624	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
626	620 625	oveq12d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
627	626	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
628		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 )
629		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
630	629	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
631		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
632		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 + 1 )
633	345 632	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) )
634	633 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
635	631 634	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
636		ovex	⊢ ( 𝑖 + 1 ) ∈ V
637		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
638	637	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
639		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
640	639	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
641	638 640	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
642	635 636 641 229	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
643	628 630 642	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
644	643	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
645		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
646		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 0
647	461 646	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 0 )
648	647 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
649	645 648	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
650		c0ex	⊢ 0 ∈ V
651		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
652	651	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
653		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
654	653	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
655	652 654	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
656	649 650 655 583	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
657	12 117 656	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
658	657	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
659	658	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
660	644 659	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
661	660	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
662	627 661	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
663		1m1e0	⊢ ( 1 − 1 ) = 0
664	663	fveq2i	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 0 )
665	13	eqcomi	⊢ ( ℤ≥ ‘ 0 ) = ℕ0
666	664 665	eqtr2i	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) )
667	666	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) )
668	187 667	eleqtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) )
669		fzdifsuc2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
670	668 669	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
671	670	eqcomd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
672	671	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
673	672	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
674	662 673	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
675	514 614 674	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
676	492 496 675	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
677		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C 0 )
678	345 646	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 0 )
679	678 458	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 )
680		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 )
681	461 680	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) )
682	681 458	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 )
683	679 455 682	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) )
684	677 455 683	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
685	665	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ℤ≥ ‘ 0 ) = ℕ0 )
686	187 685	eleqtrrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
687		eluzfz1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
688	686 687	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
689	688	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
690		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑖 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C 0 ) )
691	110	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
692		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) )
693	692	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) )
694	693	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) )
695	691 694	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
696	690 695	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
697	472 684 439 441 689 696	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
698	621	subid1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
699	698	fveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
700	699	fveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
701	700	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
702	701	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
703	702	oveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
704	703	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
705		bcn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 C 0 ) = 1 )
706	187 705	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C 0 ) = 1 )
707	706	oveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
708	707	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
709	678 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
710	645 709	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
711	110	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
712	652 711	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
713	710 650 712 229	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
714	12 117 713	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
715	714	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
716	715	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
717	461 632	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) )
718	717 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
719	631 718	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
720		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
721	720	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
722	638 721	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
723	719 636 722 583	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
724	628 630 723	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
725	724	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
726	716 725	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
727	726	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
728	708 727	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
729		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 )
730		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 1 ∈ ℤ )
731	234	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
732		eldifi	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
733		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
734	732 733	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℤ )
735	734	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
736		elfznn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
737	732 736	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
738		eldifsni	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ≠ 0 )
739	737 738	jca	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) )
740		elnnne0	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ ↔ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) )
741	739 740	sylibr	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℕ )
742		nnge1	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗 )
743	741 742	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 1 ≤ 𝑗 )
744	743	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
745		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
746	732 745	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
747	746	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
748	730 731 735 744 747	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) )
749	748	ex	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
750		0zd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℤ )
751		elfzel2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
752		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
753	173	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℝ )
754	752	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
755		1red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 1 ∈ ℝ )
756	532	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 < 1 )
757		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 1 ≤ 𝑗 )
758	753 755 754 756 757	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 < 𝑗 )
759	753 754 758	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ≤ 𝑗 )
760		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
761	750 751 752 759 760	elfzd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
762	753 758	gtned	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≠ 0 )
763		nelsn	⊢ ( 𝑗 ≠ 0 → ¬ 𝑗 ∈ { 0 } )
764	762 763	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → ¬ 𝑗 ∈ { 0 } )
765	761 764	eldifd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
766	765	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
767	766	ex	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) )
768	749 767	impbid	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
769	729 768	alrimi	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ∀ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
770		dfcleq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
771	769 770	sylibr	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
772	771	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
773	772	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
774	728 773	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
775	697 704 774	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
776	676 775	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
777		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
778	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
779	766 734	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
780		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 1 ∈ ℤ )
781	779 780	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
782	778 781	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
783	782	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
784	783	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
785	784	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
786		simpl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) )
787		fzelp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
788	787	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
789	786 788 552	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
790	788 587	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
791	789 790	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
792	785 791	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
793	777 792	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
794	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
795		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
796	795	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
797	794 796	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
798	797	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
799	798	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
800	799	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
801		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) )
802		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
803	761	ssriv	⊢ ( 1 ... 𝑖 ) ⊆ ( 0 ... 𝑖 )
804		id	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) )
805	803 804	sselid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
806	805	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
807	801 802 806 433	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
808	806 435	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
809	807 808	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
810	800 809	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
811	777 810	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
812	660 793 726 811	add4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
813		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 − 1 ) = ( 𝑘 − 1 ) )
814	813	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) )
815		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) )
816	815	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) )
817		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
818	817	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
819	818	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
820	816 819	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
821	814 820	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
822		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 1 ... 𝑖 )
823		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 1 ... 𝑖 )
824		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) )
825	347 458	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 )
826	570 458	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 )
827	825 455 826	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) )
828	824 455 827	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
829		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
830	821 822 823 828 829	cbvsum	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
831	830	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
832	831	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
833		peano2zm	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
834	796 833	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
835	794 834	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
836	835	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
837	836	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
838	837	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
839	838 809	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
840	777 839 810	fsumadd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
841	840	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
842	836 798	addcomd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
843		bcpasc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
844	794 796 843	syl2anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
845	842 844	eqtr2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) )
846	845	oveq1d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
847	846	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
848	847	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
849	838 800 809	adddird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
850	848 849	eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
851	850	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
852	832 841 851	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
853	852	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
854		peano2nn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
855	794 854	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
856	855 796	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
857	856	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
858	857	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
859	858	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
860	859 809	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
861	777 860	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
862	660 726 861	addassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
863	187 854	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
864		bcn0	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) = 1 )
865	863 864	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) = 1 )
866	865 701	oveq12d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
867	866	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
868	867 727	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
869	771	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
870	869	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
871	870	sumeq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
872	868 871	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
873		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 )
874	873 455 683	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
875	199 854	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
876	875 201	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
877	876	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
878	877	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
879	878	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
880	879 436	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
881		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) )
882	881 695	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
883	472 874 439 880 689 882	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
884	883	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
885	872 884	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
886	885	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
887		bcnn	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
888	863 887	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
889	888	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
890	889	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
891	623	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
892	891	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
893	658 892	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
894	893	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
895		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
896	894 895	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
897	644 896	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
898	897	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
899	625	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
900	890 898 899	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
901		fzdifsuc	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 0 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
902	686 901	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 0 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
903	902	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
904	903	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
905	900 904	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
906		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) )
907	633 458	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 )
908		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) )
909	461 908	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
910	909 458	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 )
911	907 455 910	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
912	906 455 911	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
913		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin )
914	863	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
915		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
916	915	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
917	914 916	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
918	917	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
919	918	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
920	919	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
921	628	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
922	96	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℤ )
923	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
924		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
925	924	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
926	916	zred	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
927	914	nn0red	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
928	213	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
929		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
930	929	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
931	301	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
932	926 927 928 930 931	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
933	922 923 916 925 932	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
934	933	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
935	921 934 229	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
936	935	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
937		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
938	936 937	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
939	921	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
940	591	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
941	940 916	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ )
942	927 926	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
943	930 942	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
944	927 926	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
945	928 926	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
946	928 173 247	sylancl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
947	927 928 926 931	lesub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 𝑘 ) )
948	173	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
949	948 926 928 925	lesub2dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
950	944 945 946 947 949	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
951	253	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
952	950 951	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
953	922 923 941 943 952	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
954	953	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
955	954	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
956		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
957	956	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
958	310 957	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
959	461 346	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 𝑗 )
960	959 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
961	343 960	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
962		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) )
963	962	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
964	267 963	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
965	961 964 583	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
966	308 958 965	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
967	939 955 966	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
968	967 937	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
969	938 968	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
970	920 969	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
971	863 685	eleqtrrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
972		eluzfz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
973	971 972	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
974	973	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
975		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) )
976	639	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
977		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
978	977	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
979	978	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
980	976 979	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
981	975 980	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
982	472 912 913 970 974 981	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
983	982	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
984	886 905 983	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
985	853 862 984	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
986	776 812 985	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
987	438 442 986	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
988	987	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
989	422 988	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
990	989	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
991	191 193 990	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
992	180 181 184 991	syl21anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
993	992	3exp	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
994	44 57 70 83 179 993	fzind2	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
995	31 994	vtoclg	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
996	5 16 995	sylc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
997	12 996	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )