Theorem dvnmul

Description: Function-builder for the N -th derivative, product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	dvnmul.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
	dvnmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
	dvnmul.a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
	dvnmul.cc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
	dvnmul.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	dvnmulf	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 )
	dvnmul.f	⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 )
	dvnmul.dvnf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnmul.dvng	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnmul.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
	dvnmul.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
Assertion	dvnmul	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnmul.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2		dvnmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
3		dvnmul.a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
4		dvnmul.cc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
5		dvnmul.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
6		dvnmulf	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 )
7		dvnmul.f	⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 )
8		dvnmul.dvnf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
9		dvnmul.dvng	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
10		dvnmul.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
11		dvnmul.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
12		id	⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
13		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
14	5 13	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
15		eluzfz2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
16	14 15	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
17		eleq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
18		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) )
19		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝑁 ) )
20	19	sumeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
21		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 C 𝑘 ) = ( 𝑁 C 𝑘 ) )
22		fvoveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) )
23	22	fveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
24	23	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
25	21 24	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
26	25	sumeq2sdv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
27	20 26	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
28	27	mpteq2dv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
29	18 28	eqeq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
30	29	imbi2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
31	17 30	imbi12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
32		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) )
33		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 0 )
34	33	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 0 ) )
35		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → 𝑚 = 0 )
36	35	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 0 C 𝑘 ) )
37	35	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) )
38	37	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
39	38	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
40	36 39	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
41	34 40	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
42	41	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
43	32 42	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
44	43	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
45		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
46		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 𝑖 )
47	46	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑖 ) )
48		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑚 = 𝑖 )
49	48	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C 𝑘 ) )
50	48	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
51	50	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
52	51	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
53	49 52	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
54	47 53	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
55	54	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
56	45 55	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
57	56	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
58		fveq2	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
59		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) )
60	59	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
61		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) )
62	61	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
63	61	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
64	63	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
65	64	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
66	62 65	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
67	60 66	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
68	67	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
69	58 68	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
70	69	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
71		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) )
72		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 𝑛 )
73	72	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑛 ) )
74		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → 𝑚 = 𝑛 )
75	74	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 𝑛 C 𝑘 ) )
76	74	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) )
77	76	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
78	77	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
79	75 78	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
80	73 79	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
81	80	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
82	71 81	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
83	82	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
84		recnprss	⊢ ( 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } → 𝑆 ⊆ ℂ )
85	1 84	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ )
86	3 4	mulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
87		restsspw	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ⊆ 𝒫 𝑆
88	87 2	sselid	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 )
89		elpwi	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆 )
90	88 89	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆 )
91		cnex	⊢ ℂ ∈ V
92	91	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℂ ∈ V )
93	86 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
94		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
95	85 93 94	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
96		0z	⊢ 0 ∈ ℤ
97		fzsn	⊢ ( 0 ∈ ℤ → ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
98	96 97	ax-mp	⊢ ( 0 ... 0 ) = { 0 }
99	98	sumeq1i	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
100	99	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
101		nfcvd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Ⅎ 𝑘 ( 𝐴 · 𝐵 ) )
102		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
103		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = ( 0 C 0 ) )
104		0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0
105		bcn0	⊢ ( 0 ∈ ℕ0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
106	104 105	ax-mp	⊢ ( 0 C 0 ) = 1
107	106	a1i	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
108	103 107	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
109	108	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
110		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) )
111	110	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) )
112		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
113	112	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
114	10 113	eqtri	⊢ 𝐶 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
115		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
116		eluzfz1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
117	14 116	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
118		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) ∈ V )
119	114 115 117 118	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
120	119	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
121	111 120	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
122	3 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
123	6 122	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
124		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
125	85 123 124	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
126	125	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
127	121 126	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = 𝐹 )
128	127	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
129	128	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
130		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
131	6	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
132	130 3 131	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
133	132	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
134	129 133	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
135		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = ( 0 − 0 ) )
136		0m0e0	⊢ ( 0 − 0 ) = 0
137	136	a1i	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 0 ) = 0 )
138	135 137	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = 0 )
139	138	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
140	139	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
141	140	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
142	141	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
143		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
144	143	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
145	11 144	eqtri	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
146	145	fveq1i	⊢ ( 𝐷 ‘ 0 ) = ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 )
147	146	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) = ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 ) )
148		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) )
149		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) )
150	149	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) )
151	4 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
152	7 151	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
153		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
154	85 152 153	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
155	154	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
156	150 155	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = 𝐺 )
157	7	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) )
158		mptexg	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ V )
159	88 158	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ V )
160	157 159	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ V )
161	148 156 117 160	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
162	147 161	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) = 𝐺 )
163	162	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
164	163	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
165	157 4	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
166	165	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
167	142 164 166	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
168	134 167	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
169	109 168	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
170	86	mullidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
171	170	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
172	169 171	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
173		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
174	173	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
175	101 102 172 174 86	sumsnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
176	100 175	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
177	176	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
178	95 177	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
179	178	a1i	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
180		simp3	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝜑 )
181		simp1	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
182		simp2	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
183		pm3.35	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
184	180 182 183	syl2anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
185	85	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
186	93	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
187		elfzonn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
188	187	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
189		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
190	185 186 188 189	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
191	190	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
192		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
193	192	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
194		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 )
195		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
196	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
197	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
198		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 0 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
199	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
200		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
201	200	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
202	199 201	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
203	202	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
204	203	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
205	204	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
206		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝜑 )
207		0zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ∈ ℤ )
208		elfzoel2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
209	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
210		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ 𝑘 )
211	210	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
212	201	zred	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
213	208	zred	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ )
214	213	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
215	187	nn0red	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
216	215	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
217		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ≤ 𝑖 )
218	217	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑖 )
219		elfzolt2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 < 𝑁 )
220	219	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 < 𝑁 )
221	212 216 214 218 220	lelttrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 < 𝑁 )
222	212 214 221	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
223	207 209 201 211 222	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
224	223	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
225	10	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
226		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
227	225 226	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
228	227	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
229	8 228	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
230	206 224 229	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
231	230	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
232		simp3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
233	231 232	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
234	187	nn0zd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
235	234	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
236	235 201	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℤ )
237		elfzel2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
238	237	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
239	200	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
240	238 239	subge0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝑖 ) )
241	217 240	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) )
242	241	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) )
243	216 212	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
244	214 212	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
245	173	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ∈ ℝ )
246	214 245	jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) )
247		resubcl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
248	246 247	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
249	216 214 212 220	ltsub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < ( 𝑁 − 𝑘 ) )
250	245 212 214 211	lesub2dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
251	243 244 248 249 250	ltletrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < ( 𝑁 − 0 ) )
252	213	recnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℂ )
253	252	subid1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
254	253	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
255	251 254	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < 𝑁 )
256	243 214 255	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
257	207 209 236 242 256	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
258	257	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
259		ovex	⊢ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ V
260		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
261	260	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
262		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
263	262	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
264	261 263	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
265		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
266		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
267	266	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
268		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) )
269	268	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
270	267 269	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
271	265 270 9	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
272	259 264 271	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
273	206 258 272	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
274		fveq2	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
275		fvexd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ∈ V )
276	145 274 257 275	fvmptd3	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
277	276	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
278	277	feq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
279	273 278	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
280	279	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
281	280 232	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
282	233 281	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
283	205 282	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
284	205	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
285	235	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
286	285 201	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ )
287		peano2re	⊢ ( 𝑖 ∈ ℝ → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
288	238 287	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
289		peano2re	⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
290	239 289	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
291	239	ltp1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
292		1red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 1 ∈ ℝ )
293	239 238 292 217	leadd1dd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
294	239 290 288 291 293	ltletrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 < ( 𝑖 + 1 ) )
295	239 288 294	ltled	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
296	295	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
297	216 287	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
298	297 212	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
299	296 298	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
300	297 212	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
301		elfzop1le2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
302	301	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
303	297 214 212 302	lesub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 𝑘 ) )
304	250 254	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
305	300 244 214 303 304	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
306	207 209 286 299 305	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
307	306	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
308		ovex	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ V
309		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
310	309	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
311		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
312	311	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
313	310 312	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
314	308 313 271	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
315	206 307 314	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
316	145	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) )
317		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) → 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
318	317	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
319		fvexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ∈ V )
320	316 318 307 319	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
321	320	feq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
322	315 321	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
323	322	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
324	233	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
325	323 324	mulcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
326	325	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
327	201	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ )
328	173	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℝ )
329	328 239 290 210 291	lelttrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 < ( 𝑘 + 1 ) )
330	328 290 329	ltled	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) )
331	330	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) )
332	212 289	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
333	293	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
334	332 297 214 333 302	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑁 )
335	207 209 327 331 334	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
336	335	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
337		ovex	⊢ ( 𝑘 + 1 ) ∈ V
338		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
339	338	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
340		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
341	340	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
342	339 341	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
343		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
344		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
345	10 344	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑘 𝐶
346		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗
347	345 346	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 𝑗 )
348		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑋
349		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ℂ
350	347 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
351	343 350	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
352		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) )
353	352	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
354	267 353	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
355	351 354 229	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
356	337 342 355	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
357	206 336 356	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
358	357	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
359	281	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
360	358 359	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
361	323 324	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
362	360 361	addcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
363	326 362	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
364	284 363	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ )
365	364	3impa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ )
366	206 1	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
367	173	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
368	206 2	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
369	366 368 204	dvmptconst	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0 ) )
370	282	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
371	206 224 227	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
372	371	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) )
373	230	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) )
374	372 373	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
375	374	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
376	366 84	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
377	206 123	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
378		elfznn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
379	378	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
380		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
381	376 377 379 380	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
382	381	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
383		fveq2	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
384		fvexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ V )
385	114 383 336 384	fvmptd3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
386	385	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
387	357	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
388	386 387	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
389	375 382 388	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
390	277	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
391	279	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
392	390 391	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
393	392	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
394	206 152	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
395		fznn0sub	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
396	395	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
397		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
398	376 394 396 397	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
399	398	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) )
400	216	recnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℂ )
401		1cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 1 ∈ ℂ )
402	212	recnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
403	400 401 402	addsubd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) )
404	403	eqcomd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
405	404	fveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
406	405	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
407	320	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
408	322	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
409	406 407 408	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
410	393 399 409	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
411	366 324 358 389 359 323 410	dvmptmul	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
412	366 284 367 369 370 362 411	dvmptmul	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) ) )
413	370	mul02d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = 0 )
414	326	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) )
415	363 284	mulcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
416	414 415	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
417	413 416	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
418	364	addlidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
419	417 418	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
420	419	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
421	412 420	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
422	194 195 196 197 198 283 365 421	dvmptfsum	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
423	204	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
424	360	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
425		anass	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) )
426		ancom	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
427	426	anbi2i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
428		anass	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
429	428	bicomi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
430	427 429	bitri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
431	425 430	bitri	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
432	431	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) )
433	324 432	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
434	431	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) )
435	323 434	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
436	433 435	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
437	423 424 436	adddid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
438	437	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
439	198	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
440	423 424	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
441	423 436	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
442	439 440 441	fsumadd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
443		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑖 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C ℎ ) )
444		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) )
445	444	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
446		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑖 − 𝑘 ) = ( 𝑖 − ℎ ) )
447	446	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) )
448	447	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) )
449	445 448	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
450	443 449	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
451		nfcv	⊢ Ⅎ ℎ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
452		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C ℎ )
453		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ·
454		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ℎ + 1 )
455	345 454	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) )
456		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑥
457	455 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 )
458		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
459	11 458	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑘 𝐷
460		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 − ℎ )
461	459 460	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) )
462	461 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 )
463	457 453 462	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) )
464	452 453 463	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
465	450 451 464	cbvsum	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
466	465	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
467		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 1 ∈ ℤ )
468	96	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℤ )
469	234	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
470		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
471		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ℎ
472		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 0 ... 𝑖 )
473	471 472	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 )
474	470 473	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
475	464 349	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ
476	474 475	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
477		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ↔ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
478	477	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
479	450	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ↔ ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) )
480	478 479	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) ) )
481	476 480 440	chvarfv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
482		oveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 C ℎ ) = ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) )
483		fvoveq1	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
484	483	fveq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
485		oveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 − ℎ ) = ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) )
486	485	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
487	486	fveq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
488	484 487	oveq12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
489	482 488	oveq12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
490	467 468 469 481 489	fsumshft	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
491	466 490	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
492		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
493	492	oveq1i	⊢ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) )
494	493	sumeq1i	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
495	494	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
496		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
497	496	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
498		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ∈ ℂ )
499	497 498	npcand	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
500	499	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) )
501	500	fveq1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) )
502	501	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) )
503	215	recnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℂ )
504	503	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℂ )
505	497	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
506	498	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
507	504 505 506	subsub3d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
508	507	fveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) )
509	508	fveq1d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) )
510	502 509	oveq12d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
511	510	oveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
512	511	sumeq2dv	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
513	512	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
514		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
515		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
516		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin )
517	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
518	496	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
519		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
520	518 519	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
521	517 520	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
522	521	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
523	522	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
524	523	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
525	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
526		0zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℤ )
527	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
528	173	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ∈ ℝ )
529	496	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
530		1red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
531		0lt1	⊢ 0 < 1
532	531	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 < 1 )
533		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
534	528 530 529 532 533	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 < 𝑗 )
535	528 529 534	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
536	535	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
537	529	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
538	215	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
539		1red	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
540	538 539	readdcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
541	213	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
542		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
543	542	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
544	301	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
545	537 540 541 543 544	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ 𝑁 )
546	526 527 518 536 545	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
547	546	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
548	525 547 355	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
549	548	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
550		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
551	549 550	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
552	234	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
553	552	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
554	553 518	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℤ )
555	540 537	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
556	543 555	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
557	540 537	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℝ )
558	557	leidd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
559	529 534	elrpd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ+ )
560	559	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ+ )
561	540 560	ltsubrpd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < ( 𝑖 + 1 ) )
562	557 540 541 561 544	ltletrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < 𝑁 )
563	557 557 541 558 562	lelttrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < 𝑁 )
564	557 541 563	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ 𝑁 )
565	526 527 554 556 564	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
566	565	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
567		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
568		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 )
569	459 568	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
570	569 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
571	567 570	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
572		ovex	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ V
573		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
574	573	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
575		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) )
576	575	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
577	574 576	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
578	11	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ) )
579		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
580	578 579	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
581	580	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
582	9 581	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
583	571 572 577 582	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
584	525 566 583	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
585	584	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
586	585 550	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
587	551 586	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
588	524 587	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
589		1zzd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℤ )
590	234	peano2zd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
591	492	eqcomi	⊢ 1 = ( 0 + 1 )
592	591	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 = ( 0 + 1 ) )
593	173	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ∈ ℝ )
594		1red	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℝ )
595	187	nn0ge0d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ≤ 𝑖 )
596	593 215 594 595	leadd1dd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 0 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
597	592 596	eqbrtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
598	589 590 597	3jca	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
599		eluz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
600	598 599	sylibr	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
601		eluzfz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
602	600 601	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
603	602	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
604		oveq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑗 − 1 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) )
605	604	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) )
606		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
607	606	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
608		oveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
609	608	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
610	609	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
611	607 610	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
612	605 611	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
613	514 515 516 588 603 612	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
614		1cnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℂ )
615	503 614	pncand	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) = 𝑖 )
616	615	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑖 C 𝑖 ) )
617		bcnn	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 C 𝑖 ) = 1 )
618	187 617	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C 𝑖 ) = 1 )
619	616 618	eqtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) = 1 )
620	503 614	addcld	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℂ )
621	620	subidd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) = 0 )
622	621	fveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
623	622	fveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
624	623	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
625	619 624	oveq12d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
626	625	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
627		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 )
628		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
629	628	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
630		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
631		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 + 1 )
632	345 631	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) )
633	632 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
634	630 633	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
635		ovex	⊢ ( 𝑖 + 1 ) ∈ V
636		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
637	636	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
638		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
639	638	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
640	637 639	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
641	634 635 640 229	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
642	627 629 641	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
643	642	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
644		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
645		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 0
646	459 645	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 0 )
647	646 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
648	644 647	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
649		c0ex	⊢ 0 ∈ V
650		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
651	650	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
652		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
653	652	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
654	651 653	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
655	648 649 654 582	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
656	12 117 655	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
657	656	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
658	657	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
659	643 658	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
660	659	mullidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
661	626 660	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
662		1m1e0	⊢ ( 1 − 1 ) = 0
663	662	fveq2i	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 0 )
664	13	eqcomi	⊢ ( ℤ≥ ‘ 0 ) = ℕ0
665	663 664	eqtr2i	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) )
666	665	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) )
667	187 666	eleqtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) )
668		fzdifsuc2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
669	667 668	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
670	669	eqcomd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
671	670	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
672	671	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
673	661 672	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
674	513 613 673	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
675	491 495 674	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
676		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C 0 )
677	345 645	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 0 )
678	677 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 )
679		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 )
680	459 679	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) )
681	680 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 )
682	678 453 681	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) )
683	676 453 682	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
684	664	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ℤ≥ ‘ 0 ) = ℕ0 )
685	187 684	eleqtrrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
686		eluzfz1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
687	685 686	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
688	687	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
689		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑖 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C 0 ) )
690	110	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
691		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) )
692	691	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) )
693	692	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) )
694	690 693	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
695	689 694	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
696	470 683 439 441 688 695	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
697	620	subid1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
698	697	fveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
699	698	fveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
700	699	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
701	700	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
702	701	oveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
703	702	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
704		bcn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 C 0 ) = 1 )
705	187 704	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C 0 ) = 1 )
706	705	oveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
707	706	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
708	677 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
709	644 708	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
710	110	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
711	651 710	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
712	709 649 711 229	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
713	12 117 712	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
714	713	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
715	714	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
716	459 631	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) )
717	716 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
718	630 717	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
719		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
720	719	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
721	637 720	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
722	718 635 721 582	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
723	627 629 722	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
724	723	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
725	715 724	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
726	725	mullidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
727	707 726	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
728		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 )
729		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 1 ∈ ℤ )
730	234	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
731		eldifi	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
732		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
733	731 732	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℤ )
734	733	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
735		elfznn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
736	731 735	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
737		eldifsni	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ≠ 0 )
738	736 737	jca	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) )
739		elnnne0	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ ↔ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) )
740	738 739	sylibr	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℕ )
741		nnge1	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗 )
742	740 741	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 1 ≤ 𝑗 )
743	742	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
744		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
745	731 744	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
746	745	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
747	729 730 734 743 746	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) )
748	747	ex	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
749		0zd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℤ )
750		elfzel2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
751		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
752	173	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℝ )
753	751	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
754		1red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 1 ∈ ℝ )
755	531	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 < 1 )
756		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 1 ≤ 𝑗 )
757	752 754 753 755 756	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 < 𝑗 )
758	752 753 757	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ≤ 𝑗 )
759		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
760	749 750 751 758 759	elfzd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
761	752 757	gtned	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≠ 0 )
762		nelsn	⊢ ( 𝑗 ≠ 0 → ¬ 𝑗 ∈ { 0 } )
763	761 762	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → ¬ 𝑗 ∈ { 0 } )
764	760 763	eldifd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
765	764	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
766	765	ex	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) )
767	748 766	impbid	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
768	728 767	alrimi	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ∀ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
769		dfcleq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
770	768 769	sylibr	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
771	770	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
772	771	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
773	727 772	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
774	696 703 773	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
775	675 774	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
776		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
777	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
778	765 733	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
779		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 1 ∈ ℤ )
780	778 779	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
781	777 780	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
782	781	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
783	782	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
784	783	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
785		simpl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) )
786		fzelp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
787	786	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
788	785 787 551	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
789	787 586	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
790	788 789	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
791	784 790	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
792	776 791	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
793	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
794		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
795	794	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
796	793 795	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
797	796	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
798	797	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
799	798	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
800		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) )
801		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
802	760	ssriv	⊢ ( 1 ... 𝑖 ) ⊆ ( 0 ... 𝑖 )
803		id	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) )
804	802 803	sselid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
805	804	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
806	800 801 805 433	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
807	805 435	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
808	806 807	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
809	799 808	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
810	776 809	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
811	659 792 725 810	add4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
812		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 − 1 ) = ( 𝑘 − 1 ) )
813	812	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) )
814		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) )
815	814	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) )
816		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
817	816	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
818	817	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
819	815 818	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
820	813 819	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
821		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) )
822	347 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 )
823	569 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 )
824	822 453 823	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) )
825	821 453 824	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
826		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
827	820 825 826	cbvsum	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
828	827	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
829	828	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
830		peano2zm	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
831	795 830	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
832	793 831	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
833	832	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
834	833	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
835	834	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
836	835 808	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
837	776 836 809	fsumadd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
838	837	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
839	833 797	addcomd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
840		bcpasc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
841	793 795 840	syl2anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
842	839 841	eqtr2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) )
843	842	oveq1d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
844	843	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
845	844	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
846	835 799 808	adddird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
847	845 846	eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
848	847	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
849	829 838 848	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
850	849	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
851		peano2nn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
852	793 851	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
853	852 795	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
854	853	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
855	854	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
856	855	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
857	856 808	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
858	776 857	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
859	659 725 858	addassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
860	187 851	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
861		bcn0	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) = 1 )
862	860 861	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) = 1 )
863	862 700	oveq12d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
864	863	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
865	864 726	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
866	770	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
867	866	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
868	867	sumeq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
869	865 868	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
870		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 )
871	870 453 682	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
872	199 851	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
873	872 201	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
874	873	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
875	874	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
876	875	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
877	876 436	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
878		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) )
879	878 694	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
880	470 871 439 877 688 879	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
881	880	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
882	869 881	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
883	882	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
884		bcnn	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
885	860 884	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
886	885	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
887	886	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
888	622	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
889	888	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
890	657 889	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
891	890	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
892		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
893	891 892	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
894	643 893	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
895	894	mullidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
896	624	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
897	887 895 896	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
898		fzdifsuc	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 0 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
899	685 898	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 0 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
900	899	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
901	900	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
902	897 901	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
903		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) )
904	632 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 )
905		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) )
906	459 905	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
907	906 456	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 )
908	904 453 907	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
909	903 453 908	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
910		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin )
911	860	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
912		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
913	912	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
914	911 913	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
915	914	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
916	915	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
917	916	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
918	627	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
919	96	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℤ )
920	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
921		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
922	921	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
923	913	zred	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
924	911	nn0red	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
925	213	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
926		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
927	926	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
928	301	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
929	923 924 925 927 928	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
930	919 920 913 922 929	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
931	930	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
932	918 931 229	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
933	932	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
934		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
935	933 934	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
936	918	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
937	590	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
938	937 913	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ )
939	924 923	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
940	927 939	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
941	924 923	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
942	925 923	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
943	925 173 247	sylancl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
944	924 925 923 928	lesub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 𝑘 ) )
945	173	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
946	945 923 925 922	lesub2dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
947	941 942 943 944 946	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
948	253	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
949	947 948	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
950	919 920 938 940 949	elfzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
951	950	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
952	951	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
953		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
954	953	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
955	310 954	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
956	459 346	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 𝑗 )
957	956 348 349	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
958	343 957	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
959		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) )
960	959	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
961	267 960	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
962	958 961 582	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
963	308 955 962	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
964	936 952 963	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
965	964 934	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
966	935 965	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
967	917 966	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
968	860 684	eleqtrrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
969		eluzfz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
970	968 969	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
971	970	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
972		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) )
973	638	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
974		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
975	974	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
976	975	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
977	973 976	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
978	972 977	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
979	470 909 910 967 971 978	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
980	979	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
981	883 902 980	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
982	850 859 981	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
983	775 811 982	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
984	438 442 983	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
985	984	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
986	422 985	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
987	986	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
988	191 193 987	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
989	180 181 184 988	syl21anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
990	989	3exp	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
991	44 57 70 83 179 990	fzind2	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
992	31 991	vtoclg	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
993	5 16 992	sylc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
994	12 993	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )