Theorem dvnmul

Description: Function-builder for the N -th derivative, product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	dvnmul.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
	dvnmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
	dvnmul.a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
	dvnmul.cc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
	dvnmul.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	dvnmulf	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 )
	dvnmul.f	⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 )
	dvnmul.dvnf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnmul.dvng	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnmul.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
	dvnmul.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
Assertion	dvnmul	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnmul.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2		dvnmul.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
3		dvnmul.a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
4		dvnmul.cc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
5		dvnmul.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
6		dvnmulf	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 )
7		dvnmul.f	⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 )
8		dvnmul.dvnf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
9		dvnmul.dvng	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
10		dvnmul.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
11		dvnmul.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
12		id	⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
13		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
14	5 13	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
15		eluzfz2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
16	14 15	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
17		eleq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
18		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) )
19		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝑁 ) )
20	19	sumeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
21		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 C 𝑘 ) = ( 𝑁 C 𝑘 ) )
22		fvoveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) )
23	22	fveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
24	23	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
25	21 24	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
26	25	sumeq2sdv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
27	20 26	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
28	27	mpteq2dv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
29	18 28	eqeq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
30	29	imbi2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
31	17 30	imbi12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
32		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) )
33		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 0 )
34	33	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 0 ) )
35		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → 𝑚 = 0 )
36	35	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 0 C 𝑘 ) )
37	35	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) )
38	37	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
39	38	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
40	36 39	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
41	34 40	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
42	41	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
43	32 42	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
44	43	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
45		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
46		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 𝑖 )
47	46	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑖 ) )
48		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑚 = 𝑖 )
49	48	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C 𝑘 ) )
50	48	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
51	50	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
52	51	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
53	49 52	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
54	47 53	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
55	54	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
56	45 55	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
57	56	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
58		fveq2	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
59		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) )
60	59	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
61		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) )
62	61	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
63	61	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
64	63	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
65	64	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
66	62 65	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
67	60 66	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
68	67	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
69	58 68	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
70	69	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
71		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) )
72		simpl	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑚 = 𝑛 )
73	72	oveq2d	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑛 ) )
74		simpll	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → 𝑚 = 𝑛 )
75	74	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 𝑛 C 𝑘 ) )
76	74	fvoveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) )
77	76	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
78	77	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
79	75 78	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
80	73 79	sumeq12rdv	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
81	80	mpteq2dva	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
82	71 81	eqeq12d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
83	82	imbi2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
84		recnprss	⊢ ( 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } → 𝑆 ⊆ ℂ )
85	1 84	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ )
86	3 4	mulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
87		restsspw	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ⊆ 𝒫 𝑆
88	87 2	sseldi	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 )
89		elpwi	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆 )
90	88 89	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆 )
91		cnex	⊢ ℂ ∈ V
92	91	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℂ ∈ V )
93	86 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
94		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
95	85 93 94	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
96		0z	⊢ 0 ∈ ℤ
97		fzsn	⊢ ( 0 ∈ ℤ → ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
98	96 97	ax-mp	⊢ ( 0 ... 0 ) = { 0 }
99	98	sumeq1i	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
100	99	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
101		nfcvd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Ⅎ 𝑘 ( 𝐴 · 𝐵 ) )
102		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
103		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = ( 0 C 0 ) )
104		0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0
105		bcn0	⊢ ( 0 ∈ ℕ0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
106	104 105	ax-mp	⊢ ( 0 C 0 ) = 1
107	106	a1i	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
108	103 107	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
109	108	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
110		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) )
111	110	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) )
112		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
113	112	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
114	10 113	eqtri	⊢ 𝐶 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
115		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
116		eluzfz1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
117	14 116	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
118		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) ∈ V )
119	114 115 117 118	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
120	119	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
121	111 120	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
122	3 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴 ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
123	6 122	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
124		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
125	85 123 124	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
126	125	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
127	121 126	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = 𝐹 )
128	127	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
129	128	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
130		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
131	6	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
132	130 3 131	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
133	132	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
134	129 133	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
135		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = ( 0 − 0 ) )
136		0m0e0	⊢ ( 0 − 0 ) = 0
137	136	a1i	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 0 ) = 0 )
138	135 137	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = 0 )
139	138	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
140	139	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
141	140	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
142	141	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
143		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
144	143	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
145	11 144	eqtri	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
146	145	fveq1i	⊢ ( 𝐷 ‘ 0 ) = ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 )
147	146	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) = ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 ) )
148		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) )
149		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) )
150	149	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) )
151	4 90 92 1	mptelpm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
152	7 151	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
153		dvn0	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
154	85 152 153	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
155	154	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
156	150 155	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = 𝐺 )
157	7	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) )
158		mptexg	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ V )
159	88 158	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵 ) ∈ V )
160	157 159	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ V )
161	148 156 117 160	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
162	147 161	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) = 𝐺 )
163	162	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
164	163	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) )
165	157 4	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
166	165	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
167	142 164 166	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
168	134 167	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
169	109 168	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
170	86	mulid2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
171	170	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
172	169 171	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
173		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
174	173	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
175	101 102 172 174 86	sumsnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
176	100 175	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
177	176	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
178	95 177	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
179	178	a1i	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
180		simp3	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝜑 )
181		simp1	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
182		simp2	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
183		pm3.35	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
184	180 182 183	syl2anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
185	85	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
186	93	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
187		elfzonn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
188	187	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
189		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
190	185 186 188 189	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
191	190	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
192		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
193	192	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
194		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 )
195		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
196	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
197	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
198		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 0 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
199	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
200		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
201	200	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
202	199 201	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
203	202	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
204	203	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
205	204	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
206		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝜑 )
207		0zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ∈ ℤ )
208		elfzoel2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
209	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
210	207 209 201	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) )
211		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ 𝑘 )
212	211	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
213	201	zred	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
214	208	zred	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ )
215	214	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
216	187	nn0red	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
217	216	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
218		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ≤ 𝑖 )
219	218	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑖 )
220		elfzolt2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 < 𝑁 )
221	220	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 < 𝑁 )
222	213 217 215 219 221	lelttrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 < 𝑁 )
223	213 215 222	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
224	210 212 223	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁 ) ) )
225		elfz2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁 ) ) )
226	224 225	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
227	226	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
228	10	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
229		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
230	228 229	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
231	230	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
232	8 231	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
233	206 227 232	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
234	233	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
235		simp3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
236	234 235	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
237	187	nn0zd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
238	237	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
239	238 201	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℤ )
240	207 209 239	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) )
241		elfzel2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
242	241	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
243	200	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
244	242 243	subge0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝑖 ) )
245	218 244	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) )
246	245	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) )
247	217 213	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
248	215 213	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
249	173	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ∈ ℝ )
250	215 249	jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) )
251		resubcl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
252	250 251	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
253	217 215 213 221	ltsub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < ( 𝑁 − 𝑘 ) )
254	249 213 215 212	lesub2dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
255	247 248 252 253 254	ltletrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < ( 𝑁 − 0 ) )
256	214	recnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℂ )
257	256	subid1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
258	257	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
259	255 258	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) < 𝑁 )
260	247 215 259	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
261	240 246 260	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) )
262		elfz2	⊢ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) )
263	261 262	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
264	263	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
265		ovex	⊢ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ V
266		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
267	266	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
268		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
269	268	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
270	267 269	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
271		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
272		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
273	272	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
274		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) )
275	274	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
276	273 275	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
277	271 276 9	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
278	265 270 277	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
279	206 264 278	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
280		fveq2	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑖 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
281		fvexd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ∈ V )
282	145 280 263 281	fvmptd3	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
283	282	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
284	283	feq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
285	279 284	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
286	285	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
287	286 235	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
288	236 287	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
289	205 288	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
290	205	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
291	238	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
292	291 201	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ )
293	207 209 292	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ ) )
294		peano2re	⊢ ( 𝑖 ∈ ℝ → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
295	242 294	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
296		peano2re	⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
297	243 296	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
298	243	ltp1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
299		1red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 1 ∈ ℝ )
300	243 242 299 218	leadd1dd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
301	243 297 295 298 300	ltletrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 < ( 𝑖 + 1 ) )
302	243 295 301	ltled	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
303	302	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
304	217 294	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
305	304 213	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
306	303 305	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
307	304 213	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
308		elfzop1le2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
309	308	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
310	304 215 213 309	lesub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 𝑘 ) )
311	254 258	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
312	307 248 215 310 311	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
313	293 306 312	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) )
314		elfz2	⊢ ( ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) )
315	313 314	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
316	315	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
317		ovex	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ V
318		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
319	318	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
320		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
321	320	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
322	319 321	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
323	317 322 277	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
324	206 316 323	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
325	145	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) )
326		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) → 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
327	326	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
328		fvexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ∈ V )
329	325 327 316 328	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
330	329	feq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
331	324 330	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
332	331	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
333	236	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
334	332 333	mulcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
335	334	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
336	201	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ )
337	207 209 336	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ ) )
338	173	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℝ )
339	338 243 297 211 298	lelttrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 < ( 𝑘 + 1 ) )
340	338 297 339	ltled	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) )
341	340	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) )
342	213 296	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
343	300	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
344	342 304 215 343 309	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑁 )
345	337 341 344	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) )
346		elfz2	⊢ ( ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) )
347	345 346	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
348	347	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
349		ovex	⊢ ( 𝑘 + 1 ) ∈ V
350		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
351	350	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
352		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
353	352	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
354	351 353	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
355		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
356		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
357	10 356	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑘 𝐶
358		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗
359	357 358	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 𝑗 )
360		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑋
361		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ℂ
362	359 360 361	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
363	355 362	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
364		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) )
365	364	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
366	273 365	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
367	363 366 232	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
368	349 354 367	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
369	206 348 368	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
370	369	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
371	287	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
372	370 371	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
373	332 333	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
374	372 373	addcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
375	335 374	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
376	290 375	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ )
377	376	3impa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ )
378	206 1	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
379	173	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
380	206 2	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
381	378 380 204	dvmptconst	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0 ) )
382	288	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
383	206 227 230	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
384	383	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) )
385	233	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) )
386	384 385	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
387	386	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
388	378 84	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
389	206 123	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
390		elfznn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
391	390	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
392		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
393	388 389 391 392	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
394	393	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
395		fveq2	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
396		fvexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ V )
397	114 395 348 396	fvmptd3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
398	397	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
399	369	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
400	398 399	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
401	387 394 400	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
402	283	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
403	285	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
404	402 403	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) )
405	404	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
406	206 152	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
407		fznn0sub	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
408	407	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
409		dvnp1	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ ( 𝑖 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
410	388 406 408 409	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) )
411	410	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) )
412	217	recnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℂ )
413		1cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 1 ∈ ℂ )
414	213	recnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
415	412 413 414	addsubd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) )
416	415	eqcomd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
417	416	fveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
418	417	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
419	329	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
420	331	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
421	418 419 420	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
422	405 411 421	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
423	378 333 370 401 371 332 422	dvmptmul	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
424	378 290 379 381 382 374 423	dvmptmul	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) ) )
425	382	mul02d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = 0 )
426	335	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) )
427	375 290	mulcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
428	426 427	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
429	425 428	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
430	376	addid2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
431	429 430	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
432	431	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 0 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
433	424 432	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
434	194 195 196 197 198 289 377 433	dvmptfsum	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
435	204	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
436	372	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
437		anass	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) )
438		ancom	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
439	438	anbi2i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
440		anass	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
441	440	bicomi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
442	439 441	bitri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
443	437 442	bitri	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
444	443	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) )
445	333 444	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
446	443	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) )
447	332 446	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
448	445 447	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
449	435 436 448	adddid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
450	449	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
451	198	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
452	435 436	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
453	435 448	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
454	451 452 453	fsumadd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
455		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑖 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C ℎ ) )
456		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) )
457	456	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
458		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑖 − 𝑘 ) = ( 𝑖 − ℎ ) )
459	458	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) )
460	459	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) )
461	457 460	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
462	455 461	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
463		nfcv	⊢ Ⅎ ℎ ( 0 ... 𝑖 )
464		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 0 ... 𝑖 )
465		nfcv	⊢ Ⅎ ℎ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
466		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C ℎ )
467		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ·
468		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ℎ + 1 )
469	357 468	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) )
470		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑥
471	469 470	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 )
472		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
473	11 472	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑘 𝐷
474		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 − ℎ )
475	473 474	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) )
476	475 470	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 )
477	471 467 476	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) )
478	466 467 477	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
479	462 463 464 465 478	cbvsum	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
480	479	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
481		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 1 ∈ ℤ )
482	96	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ℤ )
483	237	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
484		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
485		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ℎ
486	485 464	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 )
487	484 486	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
488	478 361	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ
489	487 488	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
490		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ↔ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
491	490	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
492	462	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ↔ ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) )
493	491 492	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ℎ → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) ) )
494	489 493 452	chvarfv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
495		oveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 C ℎ ) = ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) )
496		fvoveq1	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
497	496	fveq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
498		oveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 − ℎ ) = ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) )
499	498	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
500	499	fveq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
501	497 500	oveq12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
502	495 501	oveq12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
503	481 482 483 494 502	fsumshft	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ ℎ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ℎ ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ℎ ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
504	480 503	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
505		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
506	505	oveq1i	⊢ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) )
507	506	sumeq1i	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
508	507	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
509		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
510	509	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
511		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ∈ ℂ )
512	510 511	npcand	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
513	512	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) )
514	513	fveq1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) )
515	514	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) )
516	216	recnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℂ )
517	516	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℂ )
518	510	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
519	511	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
520	517 518 519	subsub3d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
521	520	fveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) )
522	521	fveq1d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) )
523	515 522	oveq12d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
524	523	oveq2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
525	524	sumeq2dv	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
526	525	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
527		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
528		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
529		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin )
530	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
531	509	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
532		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
533	531 532	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
534	530 533	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
535	534	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
536	535	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
537	536	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
538	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
539		0zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℤ )
540	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
541	539 540 531	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) )
542	173	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ∈ ℝ )
543	509	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
544		1red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
545		0lt1	⊢ 0 < 1
546	545	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 < 1 )
547		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
548	542 544 543 546 547	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 < 𝑗 )
549	542 543 548	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
550	549	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
551	543	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
552	216	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
553		1red	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
554	552 553	readdcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
555	214	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
556		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
557	556	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
558	308	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
559	551 554 555 557 558	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ 𝑁 )
560	541 550 559	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁 ) ) )
561		elfz2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁 ) ) )
562	560 561	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
563	562	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
564	538 563 367	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
565	564	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
566		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
567	565 566	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
568	237	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
569	568	peano2zd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
570	569 531	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℤ )
571	539 540 570	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℤ ) )
572	554 551	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
573	557 572	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
574	554 551	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℝ )
575	574	leidd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
576	543 548	elrpd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ+ )
577	576	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ+ )
578	554 577	ltsubrpd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < ( 𝑖 + 1 ) )
579	574 554 555 578 558	ltletrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < 𝑁 )
580	574 574 555 575 579	lelttrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < 𝑁 )
581	574 555 580	ltled	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ 𝑁 )
582	571 573 581	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ 𝑁 ) ) )
583		elfz2	⊢ ( ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ 𝑁 ) ) )
584	582 583	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
585	584	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
586		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
587		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 )
588	473 587	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
589	588 360 361	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
590	586 589	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
591		ovex	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ V
592		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
593	592	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
594		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) )
595	594	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
596	593 595	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
597	11	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ) )
598		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
599	597 598	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
600	599	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
601	9 600	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
602	590 591 596 601	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
603	538 585 602	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
604	603	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
605	604 566	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
606	567 605	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
607	537 606	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
608		1zzd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℤ )
609	237	peano2zd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
610	505	eqcomi	⊢ 1 = ( 0 + 1 )
611	610	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 = ( 0 + 1 ) )
612	173	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ∈ ℝ )
613		1red	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℝ )
614	187	nn0ge0d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ≤ 𝑖 )
615	612 216 613 614	leadd1dd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 0 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
616	611 615	eqbrtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
617	608 609 616	3jca	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
618		eluz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
619	617 618	sylibr	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
620		eluzfz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
621	619 620	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
622	621	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
623		oveq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑗 − 1 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) )
624	623	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) )
625		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
626	625	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
627		oveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
628	627	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
629	628	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
630	626 629	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
631	624 630	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
632	527 528 529 607 622 631	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
633		1cnd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℂ )
634	516 633	pncand	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) = 𝑖 )
635	634	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑖 C 𝑖 ) )
636		bcnn	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 C 𝑖 ) = 1 )
637	187 636	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C 𝑖 ) = 1 )
638	635 637	eqtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) = 1 )
639	516 633	addcld	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℂ )
640	639	subidd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) = 0 )
641	640	fveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
642	641	fveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
643	642	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
644	638 643	oveq12d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
645	644	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
646		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 )
647		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
648	647	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
649		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
650		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 + 1 )
651	357 650	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) )
652	651 360 361	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
653	649 652	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
654		ovex	⊢ ( 𝑖 + 1 ) ∈ V
655		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
656	655	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
657		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
658	657	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
659	656 658	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
660	653 654 659 232	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
661	646 648 660	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
662	661	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
663		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
664		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 0
665	473 664	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 0 )
666	665 360 361	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
667	663 666	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
668		c0ex	⊢ 0 ∈ V
669		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
670	669	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
671		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
672	671	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
673	670 672	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
674	667 668 673 601	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
675	12 117 674	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
676	675	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
677	676	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
678	662 677	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
679	678	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
680	645 679	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
681		1m1e0	⊢ ( 1 − 1 ) = 0
682	681	fveq2i	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 0 )
683	13	eqcomi	⊢ ( ℤ≥ ‘ 0 ) = ℕ0
684	682 683	eqtr2i	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) )
685	684	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) )
686	187 685	eleqtrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) )
687		fzdifsuc2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 1 − 1 ) ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
688	686 687	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
689	688	eqcomd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
690	689	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
691	690	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
692	680 691	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
693	526 632 692	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
694	504 508 693	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
695		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C 0 )
696	357 664	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 0 )
697	696 470	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 )
698		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 )
699	473 698	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) )
700	699 470	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 )
701	697 467 700	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) )
702	695 467 701	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
703	683	a1i	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ℤ≥ ‘ 0 ) = ℕ0 )
704	187 703	eleqtrrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
705		eluzfz1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
706	704 705	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
707	706	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
708		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑖 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C 0 ) )
709	110	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
710		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) )
711	710	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) )
712	711	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) )
713	709 712	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
714	708 713	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
715	484 702 451 453 707 714	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
716	639	subid1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
717	716	fveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
718	717	fveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
719	718	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
720	719	oveq2d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
721	720	oveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
722	721	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
723		bcn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 C 0 ) = 1 )
724	187 723	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C 0 ) = 1 )
725	724	oveq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
726	725	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
727	696 360 361	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
728	663 727	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
729	110	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
730	670 729	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
731	728 668 730 232	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
732	12 117 731	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
733	732	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
734	733	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
735	473 650	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) )
736	735 360 361	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
737	649 736	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
738		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
739	738	feq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
740	656 739	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
741	737 654 740 601	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
742	646 648 741	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
743	742	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
744	734 743	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
745	744	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
746	726 745	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
747		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 )
748		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 1 ∈ ℤ )
749	237	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
750		eldifi	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
751		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
752	750 751	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℤ )
753	752	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
754	748 749 753	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) )
755		elfznn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
756	750 755	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
757		eldifsni	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ≠ 0 )
758	756 757	jca	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) )
759		elnnne0	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ ↔ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) )
760	758 759	sylibr	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℕ )
761		nnge1	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗 )
762	760 761	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 1 ≤ 𝑗 )
763	762	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
764		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
765	750 764	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
766	765	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
767	754 763 766	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 1 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖 ) ) )
768		elfz2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ↔ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 1 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖 ) ) )
769	767 768	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) )
770	769	ex	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
771		0zd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℤ )
772		elfzel2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
773		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
774	771 772 773	3jca	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) )
775	173	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℝ )
776	773	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
777		1red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 1 ∈ ℝ )
778	545	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 < 1 )
779		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 1 ≤ 𝑗 )
780	775 777 776 778 779	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 < 𝑗 )
781	775 776 780	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ≤ 𝑗 )
782		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≤ 𝑖 )
783	774 781 782	jca32	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖 ) ) )
784		elfz2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖 ) ) )
785	783 784	sylibr	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
786	775 780	gtned	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≠ 0 )
787		nelsn	⊢ ( 𝑗 ≠ 0 → ¬ 𝑗 ∈ { 0 } )
788	786 787	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → ¬ 𝑗 ∈ { 0 } )
789	785 788	eldifd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
790	789	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
791	790	ex	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) )
792	770 791	impbid	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
793	747 792	alrimi	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ∀ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
794		dfcleq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
795	793 794	sylibr	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
796	795	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
797	796	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
798	746 797	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
799	715 722 798	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
800	694 799	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
801		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
802	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
803	790 752	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
804		1zzd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 1 ∈ ℤ )
805	803 804	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
806	802 805	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
807	806	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
808	807	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
809	808	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
810		simpl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) )
811		fzelp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
812	811	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
813	810 812 567	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
814	812 605	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
815	813 814	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
816	809 815	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
817	801 816	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
818	187	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
819		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
820	819	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
821	818 820	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
822	821	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
823	822	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
824	823	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
825		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) )
826		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
827	785	ssriv	⊢ ( 1 ... 𝑖 ) ⊆ ( 0 ... 𝑖 )
828		id	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) )
829	827 828	sseldi	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
830	829	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
831	825 826 830 445	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
832	830 447	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
833	831 832	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
834	824 833	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
835	801 834	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
836	678 817 744 835	add4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
837		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 − 1 ) = ( 𝑘 − 1 ) )
838	837	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) )
839		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) )
840	839	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) )
841		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
842	841	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
843	842	fveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
844	840 843	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
845	838 844	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
846		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 1 ... 𝑖 )
847		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 1 ... 𝑖 )
848		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) )
849	359 470	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 )
850	588 470	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 )
851	849 467 850	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) )
852	848 467 851	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
853		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
854	845 846 847 852 853	cbvsum	⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
855	854	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
856	855	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
857		peano2zm	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
858	820 857	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
859	818 858	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
860	859	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
861	860	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
862	861	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
863	862 833	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
864	801 863 834	fsumadd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
865	864	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
866	860 822	addcomd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
867		bcpasc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
868	818 820 867	syl2anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
869	866 868	eqtr2d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) )
870	869	oveq1d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
871	870	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
872	871	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
873	862 824 833	adddird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
874	872 873	eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
875	874	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
876	856 865 875	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
877	876	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
878		peano2nn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
879	818 878	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
880	879 820	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
881	880	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
882	881	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
883	882	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
884	883 833	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
885	801 884	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
886	678 744 885	addassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
887	187 878	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
888		bcn0	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) = 1 )
889	887 888	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) = 1 )
890	889 719	oveq12d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
891	890	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
892	891 745	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
893	795	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
894	893	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
895	894	sumeq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
896	892 895	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
897		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 )
898	897 467 701	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
899	199 878	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
900	899 201	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
901	900	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
902	901	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
903	902	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
904	903 448	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
905		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) )
906	905 713	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
907	484 898 451 904 707 906	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
908	907	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
909	896 908	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
910	909	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
911		bcnn	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
912	887 911	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
913	912	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
914	913	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
915	641	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
916	915	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
917	676 916	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
918	917	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
919		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
920	918 919	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
921	662 920	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
922	921	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
923	643	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
924	914 922 923	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
925		fzdifsuc	⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 0 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
926	704 925	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 0 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
927	926	sumeq1d	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
928	927	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
929	924 928	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
930		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) )
931	651 470	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 )
932		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) )
933	473 932	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
934	933 470	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 )
935	931 467 934	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
936	930 467 935	nfov	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
937		fzfid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin )
938	887	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
939		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
940	939	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
941	938 940	bccld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
942	941	nn0cnd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
943	942	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
944	943	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
945	646	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
946	96	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℤ )
947	208	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
948	946 947 940	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) )
949		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
950	949	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
951	940	zred	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
952	938	nn0red	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
953	214	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
954		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
955	954	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
956	308	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
957	951 952 953 955 956	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
958	948 950 957	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁 ) ) )
959	958 225	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
960	959	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
961	945 960 232	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
962	961	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
963		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
964	962 963	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
965	945	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
966	609	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
967	966 940	zsubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ )
968	946 947 967	3jca	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ ) )
969	952 951	subge0d	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
970	955 969	mpbird	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
971	952 951	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
972	953 951	resubcld	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
973	953 173 251	sylancl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
974	952 953 951 956	lesub1dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 𝑘 ) )
975	173	a1i	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
976	975 951 953 950	lesub2dd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
977	971 972 973 974 976	letrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
978	257	adantr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
979	977 978	breqtrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
980	968 970 979	jca32	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) )
981	980 314	sylibr	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
982	981	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
983	982	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
984		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
985	984	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
986	319 985	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
987	473 358	nffv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 𝑗 )
988	987 360 361	nff	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
989	355 988	nfim	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
990		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) )
991	990	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
992	273 991	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
993	989 992 601	chvarfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
994	317 986 993	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
995	965 983 994	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
996	995 963	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
997	964 996	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
998	944 997	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
999	887 703	eleqtrrd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
1000		eluzfz2	⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
1001	999 1000	syl	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
1002	1001	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
1003		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) )
1004	657	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
1005		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
1006	1005	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1007	1006	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
1008	1004 1007	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
1009	1003 1008	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
1010	484 936 937 998 1002 1009	fsumsplit1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
1011	1010	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
1012	910 929 1011	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
1013	877 886 1012	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
1014	800 836 1013	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
1015	450 454 1014	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
1016	1015	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
1017	434 1016	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
1018	1017	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
1019	191 193 1018	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
1020	180 181 184 1019	syl21anc	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
1021	1020	3exp	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
1022	44 57 70 83 179 1021	fzind2	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
1023	31 1022	vtoclg	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
1024	5 16 1023	sylc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
1025	12 1024	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )