Theorem dvnprodlem2

Description: Induction step for dvnprodlem2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	dvnprodlem2.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
	dvnprodlem2.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
	dvnprodlem2.t	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
	dvnprodlem2.h	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnprodlem2.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	dvnprodlem2.dvnh	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnprodlem2.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
	dvnprodlem2.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑇 )
	dvnprodlem2.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
	dvnprodlem2.ind	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
	dvnprodlem2.j	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
	dvnprodlem2.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ↦ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
Assertion	dvnprodlem2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnprodlem2.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2		dvnprodlem2.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
3		dvnprodlem2.t	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
4		dvnprodlem2.h	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
5		dvnprodlem2.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
6		dvnprodlem2.dvnh	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
7		dvnprodlem2.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
8		dvnprodlem2.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑇 )
9		dvnprodlem2.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
10		dvnprodlem2.ind	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
11		dvnprodlem2.j	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
12		dvnprodlem2.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ↦ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
13		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
14		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 )
15		ssfi	⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) → 𝑅 ∈ Fin )
16	3 8 15	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Fin )
17	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ Fin )
18	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
19	9	eldifbd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
20	19	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
21		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
22	8	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
23	21 22 4	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
24	23	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
25		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
26	24 25	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
27		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) )
28	27	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
29		id	⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
30		eldifi	⊢ ( 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
31	9 30	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇 )
32		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
33		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) )
34		eleq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑡 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇 ) )
35	34	anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) ) )
36	27	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
37	35 36	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
38	37 4	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
39	32 33 38	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
40	29 31 39	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
41	40	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
42		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
43	41 42	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
44	13 14 17 18 20 26 28 43	fprodsplitsn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
45	44	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
46	45	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
47	46	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝐽 ) )
48	13 17 26	fprodclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
49		elfznn0	⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℕ0 )
50	11 49	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0 )
51		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
52		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
53		oveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) )
54		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
55	53 54	syl	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
56		sumeq1	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
57	56	eqeq1d	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ) )
58	57	rabbidv	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
59	55 58	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
60	59	mpteq2dv	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
61		ssexg	⊢ ( ( 𝑅 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin ) → 𝑅 ∈ V )
62	8 3 61	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ V )
63		elpwg	⊢ ( 𝑅 ∈ V → ( 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) )
64	62 63	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) )
65	8 64	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 )
66	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 )
67		nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V
68	67	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V
69	68	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V )
70	7 60 66 69	fvmptd3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
71		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝑘 ) )
72	71	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) = ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
73		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) = ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
74	72 73	syl	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
75		eqeq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 ) )
76	75	rabbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
77	74 76	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
78	77	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
79		elfznn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
80	79	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
81		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑘 ) ∈ Fin )
82		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑘 ) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∈ Fin )
83	81 16 82	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∈ Fin )
84	83	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∈ Fin )
85		ssrab2	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 )
86	85	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
87	84 86	ssexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ V )
88	70 78 80 87	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
89		ssfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∈ Fin ∧ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
90	83 85 89	sylancl	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
91	90	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
92	88 91	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
93	92	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
94	79	faccld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ )
95	94	nncnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
96	95	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
97	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
98	97	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
99		elfznn0	⊢ ( 𝑧 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) → 𝑧 ∈ ℕ0 )
100	99	ssriv	⊢ ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ℕ0
101	100	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ℕ0 )
102		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
103	88	eleq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ) )
104	103	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ) )
105	102 104	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
106	85	sseli	⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
107	105 106	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
108		elmapi	⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
109	107 108	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
110	109	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
111		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑅 )
112	110 111	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑘 ) )
113	101 112	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ0 )
114	113	faccld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
115	114	nncnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
116	98 115	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
117	114	nnne0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
118	98 115 117	fprodn0	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
119	96 116 118	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
120	119	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
121	98	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
122	29	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
123	122 22	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
124		elfzuz3	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑘 ) )
125		fzss2	⊢ ( 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑘 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
126	124 125	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
127	126	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
128	50	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ )
129	5	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
130		elfzle2	⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐽 ≤ 𝑁 )
131	11 130	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ≤ 𝑁 )
132	128 129 131	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ≤ 𝑁 ) )
133		eluz2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ≤ 𝑁 ) )
134	132 133	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) )
135		fzss2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
136	134 135	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
137	136	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
138	127 137	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
139	138	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
140	139 112	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
141	140	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
142		fvex	⊢ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ V
143		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
144	143	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
145		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
146	145	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
147	144 146	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
148	142 147 6	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
149	122 123 141 148	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
150		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
151	149 150	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
152	121 151	fprodcl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
153	120 152	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
154	93 153	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
155	154	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
156	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
157		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ∈ ℤ )
158	129	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
159		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
160	159	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
161		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ 𝑘 )
162	161	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
163	160	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
164	50	nn0red	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ )
165	164	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ )
166	158	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
167		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ≤ 𝐽 )
168	167	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐽 )
169	131	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ≤ 𝑁 )
170	163 165 166 168 169	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
171	157 158 160 162 170	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
172		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
173	156 171 172	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
174	173	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
175	155 174	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
176	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
177		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝜑 )
178	177 176 171	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
179	34	3anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
180	27	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
181	180	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
182	181	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
183	179 182	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
184		eleq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
185	184	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
186		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) )
187	186	feq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
188	185 187	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
189	188 6	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
190	183 189	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
191	176 178 190	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
192	40	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
193	192	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) )
194	193	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
195	194	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
196	195	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
197	196	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
198	191 197	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
199		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
200	199	prodeq2ad	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
201	200	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
202	201	oveq2i	⊢ ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) )
203	202	fveq1i	⊢ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 )
204	203	mpteq2i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
205		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
206	205	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
207	206	oveq2i	⊢ ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
208	207	fveq1i	⊢ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 )
209	208	mpteq2i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
210	1 2 48 43 50 51 52 175 198 204 209	dvnmul	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
211	203	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
212	10	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
213	177 171 212	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
214	211 213	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
215	214	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
216		mptexg	⊢ ( 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
217	2 216	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
218	217	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
219	215 218	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
220	219	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
221	220	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
222	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
223	154	an32s	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
224		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
225	224	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
226	222 223 225	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
227	221 226	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
228		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
229	228	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
230	229	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
231	207 194	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
232	231	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
233	232	mpteq2dv	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
234	230 233	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
235	234	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
236		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
237	236	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
238		0zd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ∈ ℤ )
239		elfzel2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ℤ )
240	239 159	zsubcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ )
241	238 239 240	3jca	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) )
242	239	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ℝ )
243	79	nn0red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
244	242 243	subge0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝐽 ) )
245	167 244	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) )
246	242 243	subge02d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ≤ 𝑘 ↔ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) )
247	161 246	mpbid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 )
248	241 245 247	jca32	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
249	248	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
250		elfz2	⊢ ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
251	249 250	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
252		fvex	⊢ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ∈ V
253	252	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ∈ V )
254	235 237 251 253	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
255	254	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
256	255	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
257	227 256	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
258	257	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
259	92	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
260		ovex	⊢ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ V
261		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
262	261	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
263	236	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
264	262 263	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
265		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
266	265	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
267		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
268	267	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
269	266 268	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
270	269 191	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
271	260 264 270	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
272	177 251 271	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
273	272	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
274	273 222	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
275		anass	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) )
276		ancom	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
277	276	anbi2i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
278		anass	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
279	278	bicomi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
280	277 279	bitri	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
281	275 280	bitri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
282	281	anbi1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
283	282	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) )
284	153 283	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
285	259 274 284	fsummulc1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
286	285	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
287	177 50	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℕ0 )
288	287 160	bccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
289	288	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
290	289	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
291	274	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
292	284 291	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
293	259 290 292	fsummulc2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
294	258 286 293	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
295	294	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
296		vex	⊢ 𝑘 ∈ V
297		vex	⊢ 𝑐 ∈ V
298	296 297	op1std	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 1st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
299	298	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 C 𝑘 ) )
300	298	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( ! ‘ 𝑘 ) )
301	296 297	op2ndd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 2nd ‘ 𝑝 ) = 𝑐 )
302	301	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
303	302	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
304	303	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
305	300 304	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
306	302	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
307	306	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
308	307	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
309	305 308	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
310	298	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 − 𝑘 ) )
311	310	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
312	311	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
313	309 312	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
314	299 313	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
315		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin )
316	290	adantrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
317	292	anasss	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
318	316 317	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
319	314 315 259 318	fsum2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
320		ovex	⊢ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ V
321	297	resex	⊢ ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ∈ V
322	320 321	op1std	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 1st ‘ 𝑝 ) = ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
323	322	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
324	322	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
325	320 321	op2ndd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 2nd ‘ 𝑝 ) = ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) )
326	325	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) = ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) )
327	326	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
328	327	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
329	324 328	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) )
330	326	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
331	330	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
332	331	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
333	329 332	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
334	322	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
335	334	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
336	335	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
337	333 336	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
338	323 337	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
339		oveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
340		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
341	339 340	syl	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
342		sumeq1	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
343	342	eqeq1d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ) )
344	343	rabbidv	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
345	341 344	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
346	345	mpteq2dv	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
347	31	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝑍 } ⊆ 𝑇 )
348	8 347	unssd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 )
349	3 348	ssexd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ V )
350		elpwg	⊢ ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ V → ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 ↔ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 ) )
351	349 350	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 ↔ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 ) )
352	348 351	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 )
353	67	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V
354	353	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V )
355	7 346 352 354	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
356		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝐽 ) )
357	356	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
358		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
359	357 358	syl	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
360		eqeq2	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 ) )
361	360	rabbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
362	359 361	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
363	362	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 𝐽 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
364		ovex	⊢ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ V
365	364	rabex	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ V
366	365	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ V )
367	355 363 50 366	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
368		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin )
369		snfi	⊢ { 𝑍 } ∈ Fin
370	369	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑍 } ∈ Fin )
371		unfi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Fin ∧ { 𝑍 } ∈ Fin ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
372	16 370 371	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
373		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin ∧ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin )
374	368 372 373	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin )
375		ssrab2	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
376	375	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
377		ssfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ Fin )
378	374 376 377	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ Fin )
379	367 378	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ Fin )
380	379	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ Fin )
381	7 50 12 3 31 19 348	dvnprodlem1	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 : ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) –1-1-onto→ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
382	381	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐷 : ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) –1-1-onto→ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
383		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
384		opex	⊢ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V
385	384	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V )
386	12	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∧ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
387	383 385 386	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
388	387	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
389	50	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝐽 ∈ ℕ0 )
390		eliun	⊢ ( 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
391	390	bilani	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
392		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝜑
393		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑝
394		nfiu1	⊢ Ⅎ 𝑘 ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
395	393 394	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
396	392 395	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
397		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 )
398		xp1st	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ { 𝑘 } )
399		elsni	⊢ ( ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ { 𝑘 } → ( 1st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
400	398 399	syl	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
401	400	adantl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
402		simpl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
403	401 402	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
404	403	ex	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
405	404	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
406	396 397 405	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
407	391 406	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
408		elfzelz	⊢ ( ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ℤ )
409	407 408	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ℤ )
410	389 409	bccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℕ0 )
411	410	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
412	411	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
413		elfznn0	⊢ ( ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ℕ0 )
414	407 413	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ℕ0 )
415	414	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℕ )
416	415	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
417	416	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
418	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
419		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 )
420	88 86	eqsstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
421		ovex	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V
422	421	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V )
423		mapss	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V ∧ ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
424	422 126 423	syl2anc	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
425	424	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
426	420 425	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
427	426	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
428		xp2nd	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
429	428	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
430	427 429	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
431		elmapi	⊢ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
432	430 431	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
433	432	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
434	433	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
435	396 419 434	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
436	391 435	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
437	436	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
438		elfznn0	⊢ ( ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ0 )
439	438	faccld	⊢ ( ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
440	439	nncnd	⊢ ( ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
441	437 440	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
442	418 441	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
443	442	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
444	437 439	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
445		nnne0	⊢ ( ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
446	444 445	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
447	418 441 446	fprodn0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
448	447	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
449	417 443 448	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
450	17	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
451		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
452	451 22	sylancom	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
453	451 136	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
454	453 437	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
455	451 452 454	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
456		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
457	456	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
458		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) )
459	458	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
460	457 459	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
461	460 6	vtoclg	⊢ ( ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
462	437 455 461	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
463	462	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
464	25	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
465	463 464	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
466	450 465	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
467	449 466	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
468		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 )
469		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝜑 )
470	403	3adant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
471		fznn0sub2	⊢ ( ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
472	471	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
473	469 470 472	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
474	473	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
475	474	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
476	396 468 475	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
477	391 476	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
478		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝜑 )
479	478 31	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
480	478 136	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
481	480 477	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
482	478 479 481	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
483		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
484	483	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
485		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) )
486	485	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
487	484 486	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
488		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
489		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
490	34	3anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
491	180	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
492	491	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
493	490 492	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
494	493 6	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
495	488 489 494	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
496	487 495	vtoclg	⊢ ( ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
497	477 482 496	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
498	497	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
499	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
500	498 499	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
501	467 500	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
502	412 501	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
503	338 380 382 388 502	fsumf1o	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
504		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝜑 )
505	367	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
506	383 505	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
507	375	sseli	⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
508	506 507	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
509		elmapi	⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
510	508 509	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
511		snidg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
512	31 511	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
513		elun2	⊢ ( 𝑍 ∈ { 𝑍 } → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
514	512 513	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
515	514	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
516	510 515	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
517		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ∈ ℤ )
518	128	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℤ )
519		fzssz	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℤ
520	519	sseli	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℤ )
521	520	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℤ )
522	518 521	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℤ )
523		elfzle2	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 )
524	523	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 )
525	164	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ )
526	521	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℝ )
527	525 526	subge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 ) )
528	524 527	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
529		elfzle1	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
530	529	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
531	525 526	subge02d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ↔ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≤ 𝐽 ) )
532	530 531	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≤ 𝐽 )
533	517 518 522 528 532	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
534	504 516 533	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
535		bcval2	⊢ ( ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
536	534 535	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
537	164	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ )
538	537	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℂ )
539		zsscn	⊢ ℤ ⊆ ℂ
540	519 539	sstri	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℂ
541	540	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℂ )
542	541 516	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℂ )
543	538 542	nncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
544	543	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
545	544	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
546	545	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
547	50	faccld	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℕ )
548	547	nncnd	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
549	548	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
550		elfznn0	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℕ0 )
551	516 550	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℕ0 )
552	551	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ )
553	552	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℂ )
554		elfznn0	⊢ ( ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ0 )
555	534 554	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ0 )
556	555	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℕ )
557	556	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
558	552	nnne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≠ 0 )
559	556	nnne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ≠ 0 )
560	549 553 557 558 559	divdiv1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
561	560	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
562	536 546 561	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
563	562	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
564		fvres	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
565	564	fveq2d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
566	565	prodeq2i	⊢ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
567	566	oveq2i	⊢ ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
568	564	fveq2d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
569	568	fveq1d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
570	569	prodeq2i	⊢ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 )
571	567 570	oveq12i	⊢ ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
572	571	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
573	572	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
574	557	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
575	504 16	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
576	79	ssriv	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ0
577	576	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ0 )
578	510	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
579		elun1	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
580	579	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
581	578 580	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
582	577 581	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ0 )
583	582	faccld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
584	583	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
585	575 584	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
586	585	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
587	17	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
588	504	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
589	504 22	sylan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
590	588 136	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
591	590 581	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
592	588 589 591 148	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
593	592	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
594	25	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
595	593 594	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
596	587 595	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
597	575 583	fprodnncl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
598		nnne0	⊢ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
599	597 598	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
600	599	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
601	574 586 596 600	div32d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
602	573 601	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
603	543	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
604	603	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
605	604	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
606	602 605	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
607	596 586 600	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
608	504 31	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
609	504 136	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
610	609 516	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
611	504 608 610	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
612		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
613	612	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
614		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
615	614	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
616	613 615	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
617	616 495	vtoclg	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
618	516 611 617	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
619	618	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
620	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
621	619 620	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
622	574 607 621	mulassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
623	606 622	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
624	563 623	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
625	548	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
626	553	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℂ )
627	558	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≠ 0 )
628	625 626 627	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
629	607 621	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
630	559	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ≠ 0 )
631	628 574 629 630	dmmcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
632	596 621 586 600	div23d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
633	632	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
634		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
635		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 )
636	608	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
637	20	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
638		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
639	180 638	fveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
640	639	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
641	634 635 587 636 637 595 640 621	fprodsplitsn	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
642	641	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
643	642	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
644	633 643	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
645	644	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
646	587 369 371	sylancl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
647	504	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝜑 )
648	348	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
649	648	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
650	510 609	fssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) )
651	650	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
652	647 649 651 148	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
653	652	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
654	620	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
655	653 654	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
656	646 655	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
657	625 626 656 586 627 600	divmuldivd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
658	553 585	mulcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
659		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
660		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
661	504 19	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
662	638	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
663	659 660 575 608 661 584 662 553	fprodsplitsn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
664	663	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
665	658 664	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
666	665	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
667	666	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
668	504 372	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
669	576	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ0 )
670	510	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
671	669 670	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ0 )
672	671	faccld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
673	672	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
674	668 673	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
675	674	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
676	672	nnne0d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
677	668 673 676	fprodn0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
678	677	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
679	625 656 675 678	div23d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
680		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
681	667 679 680	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
682	645 657 681	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
683	624 631 682	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
684	683	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
685	503 684	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
686	295 319 685	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
687	686	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
688	47 210 687	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )