Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
efif1olem1.1 |
โข ๐ท = ( ๐ด (,] ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) |
2 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ๐ด โ โ ) |
3 |
|
2re |
โข 2 โ โ |
4 |
|
pire |
โข ฯ โ โ |
5 |
3 4
|
remulcli |
โข ( 2 ยท ฯ ) โ โ |
6 |
|
readdcl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ โ ) โ ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) |
7 |
2 5 6
|
sylancl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) |
8 |
|
resubcl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ด โ ๐ง ) โ โ ) |
9 |
|
2pos |
โข 0 < 2 |
10 |
|
pipos |
โข 0 < ฯ |
11 |
3 4 9 10
|
mulgt0ii |
โข 0 < ( 2 ยท ฯ ) |
12 |
5 11
|
elrpii |
โข ( 2 ยท ฯ ) โ โ+ |
13 |
|
modcl |
โข ( ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ โ+ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) |
14 |
8 12 13
|
sylancl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) |
15 |
7 14
|
resubcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ โ ) |
16 |
5
|
a1i |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( 2 ยท ฯ ) โ โ ) |
17 |
|
modlt |
โข ( ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ โ+ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) < ( 2 ยท ฯ ) ) |
18 |
8 12 17
|
sylancl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) < ( 2 ยท ฯ ) ) |
19 |
14 16 2 18
|
ltadd2dd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ด + ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) < ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) |
20 |
2 14 7
|
ltaddsubd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) < ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ๐ด < ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) |
21 |
19 20
|
mpbid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ๐ด < ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) |
22 |
|
modge0 |
โข ( ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ โ+ ) โ 0 โค ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) |
23 |
8 12 22
|
sylancl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ 0 โค ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) |
24 |
7 14
|
subge02d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( 0 โค ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โค ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) |
25 |
23 24
|
mpbid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โค ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) |
26 |
|
rexr |
โข ( ๐ด โ โ โ ๐ด โ โ* ) |
27 |
|
elioc2 |
โข ( ( ๐ด โ โ* โง ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) โ ( ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ( ๐ด (,] ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ( ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ โ โง ๐ด < ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โง ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โค ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) |
28 |
26 7 27
|
syl2an2r |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ( ๐ด (,] ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ( ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ โ โง ๐ด < ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โง ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โค ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) |
29 |
15 21 25 28
|
mpbir3and |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ( ๐ด (,] ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) |
30 |
29 1
|
eleqtrrdi |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ๐ท ) |
31 |
|
modval |
โข ( ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ โ+ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) = ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
32 |
8 12 31
|
sylancl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) = ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
33 |
32
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) = ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) ) |
34 |
7
|
recnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) |
35 |
8
|
recnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ด โ ๐ง ) โ โ ) |
36 |
5 11
|
gt0ne0ii |
โข ( 2 ยท ฯ ) โ 0 |
37 |
|
redivcl |
โข ( ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) |
38 |
5 36 37
|
mp3an23 |
โข ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) |
39 |
8 38
|
syl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โ ) |
40 |
39
|
flcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ โค ) |
41 |
40
|
zred |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ โ ) |
42 |
|
remulcl |
โข ( ( ( 2 ยท ฯ ) โ โ โง ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ โ ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) โ โ ) |
43 |
5 41 42
|
sylancr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) โ โ ) |
44 |
43
|
recnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) โ โ ) |
45 |
34 35 44
|
subsubd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ๐ด โ ๐ง ) ) + ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
46 |
2
|
recnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ๐ด โ โ ) |
47 |
5
|
recni |
โข ( 2 ยท ฯ ) โ โ |
48 |
47
|
a1i |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( 2 ยท ฯ ) โ โ ) |
49 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ๐ง โ โ ) |
50 |
49
|
recnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ๐ง โ โ ) |
51 |
46 48 50
|
pnncand |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ๐ด โ ๐ง ) ) = ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) ) |
52 |
51
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ๐ด โ ๐ง ) ) + ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) + ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
53 |
33 45 52
|
3eqtrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) = ( ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) + ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
54 |
53
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) = ( ๐ง โ ( ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) + ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) ) |
55 |
|
addcl |
โข ( ( ( 2 ยท ฯ ) โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) โ โ ) |
56 |
47 50 55
|
sylancr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) โ โ ) |
57 |
50 56 44
|
subsub4d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ง โ ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) = ( ๐ง โ ( ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) + ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) ) |
58 |
56 50
|
negsubdi2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ - ( ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) โ ๐ง ) = ( ๐ง โ ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) ) ) |
59 |
48 50
|
pncand |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) โ ๐ง ) = ( 2 ยท ฯ ) ) |
60 |
59
|
negeqd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ - ( ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) โ ๐ง ) = - ( 2 ยท ฯ ) ) |
61 |
58 60
|
eqtr3d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ง โ ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) ) = - ( 2 ยท ฯ ) ) |
62 |
|
neg1cn |
โข - 1 โ โ |
63 |
47
|
mulm1i |
โข ( - 1 ยท ( 2 ยท ฯ ) ) = - ( 2 ยท ฯ ) |
64 |
62 47 63
|
mulcomli |
โข ( ( 2 ยท ฯ ) ยท - 1 ) = - ( 2 ยท ฯ ) |
65 |
61 64
|
eqtr4di |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ง โ ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) ) = ( ( 2 ยท ฯ ) ยท - 1 ) ) |
66 |
65
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ง โ ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 ยท ฯ ) ยท - 1 ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
67 |
62
|
a1i |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ - 1 โ โ ) |
68 |
40
|
zcnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ โ ) |
69 |
48 67 68
|
subdid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 ยท ฯ ) ยท - 1 ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
70 |
66 69
|
eqtr4d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ง โ ( ( 2 ยท ฯ ) + ๐ง ) ) โ ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) = ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
71 |
54 57 70
|
3eqtr2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) = ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) ) |
72 |
71
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) = ( ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) |
73 |
|
neg1z |
โข - 1 โ โค |
74 |
|
zsubcl |
โข ( ( - 1 โ โค โง ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ โค ) โ ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) โ โค ) |
75 |
73 40 74
|
sylancr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) โ โค ) |
76 |
75
|
zcnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) โ โ ) |
77 |
|
divcan3 |
โข ( ( ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ โ โง ( 2 ยท ฯ ) โ 0 ) โ ( ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) = ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) |
78 |
47 36 77
|
mp3an23 |
โข ( ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) โ โ โ ( ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) = ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) |
79 |
76 78
|
syl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ( 2 ยท ฯ ) ยท ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) = ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) |
80 |
72 79
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) = ( - 1 โ ( โ โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) |
81 |
80 75
|
eqeltrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ ( ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โค ) |
82 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฆ = ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ( ๐ง โ ๐ฆ ) = ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
oveq1d |
โข ( ๐ฆ = ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ( ( ๐ง โ ๐ฆ ) / ( 2 ยท ฯ ) ) = ( ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) ) |
84 |
83
|
eleq1d |
โข ( ๐ฆ = ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ( ( ( ๐ง โ ๐ฆ ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โค โ ( ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โค ) ) |
85 |
84
|
rspcev |
โข ( ( ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) โ ๐ท โง ( ( ๐ง โ ( ( ๐ด + ( 2 ยท ฯ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ง ) mod ( 2 ยท ฯ ) ) ) ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โค ) โ โ ๐ฆ โ ๐ท ( ( ๐ง โ ๐ฆ ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โค ) |
86 |
30 81 85
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ง โ โ ) โ โ ๐ฆ โ ๐ท ( ( ๐ง โ ๐ฆ ) / ( 2 ยท ฯ ) ) โ โค ) |