Theorem eighmre

Description: The eigenvalues of a Hermitian operator are real. Equation 1.30 of Hughes p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	eighmre	⊢ ( ( 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf	⊢ ( 𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ )
2		eleigveccl	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → 𝐴 ∈ ℋ )
3		eigvalcl	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
4	2 3	jca	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) )
5		eigvec1	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ·ℎ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ) )
6	4 5	jca	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ·ℎ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ) ) )
7	1 6	sylan	⊢ ( ( 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ·ℎ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ) ) )
8	2 2	jca	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) )
9	1 8	sylan	⊢ ( ( 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) )
10		hmop	⊢ ( ( 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) )
11	10	3expb	⊢ ( ( 𝑇 ∈ HrmOp ∧ ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) ) → ( 𝐴 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) )
12	9 11	syldan	⊢ ( ( 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( 𝐴 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) )
13		eigre	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ·ℎ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ) ) → ( ( 𝐴 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) ↔ ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) )
14	13	biimpa	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ·ℎ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ) ) ∧ ( 𝐴 ·ih ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )
15	7 12 14	syl2anc	⊢ ( ( 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )