Theorem eigvalcl

Description: An eigenvalue is a complex number. (Contributed by NM, 11-Mar-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	eigvalcl	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eigvalval	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) / ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) )
2		eleigveccl	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → 𝐴 ∈ ℋ )
3		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
4		hicl	⊢ ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) ∈ ℂ )
5	3 4	sylancom	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) ∈ ℂ )
6	2 5	syldan	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) ∈ ℂ )
7		normcl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( normℎ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )
8	7	recnd	⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( normℎ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
9	2 8	syl	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( normℎ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
10	9	sqcld	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
11		eleigvec	⊢ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑥 ·ℎ 𝐴 ) ) ) )
12	11	biimpa	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑥 ·ℎ 𝐴 ) ) )
13		sqne0	⊢ ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ → ( ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ↔ ( normℎ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) )
14	8 13	syl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ↔ ( normℎ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) )
15		normne0	⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0ℎ ) )
16	14 15	bitr2d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( 𝐴 ≠ 0ℎ ↔ ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ) )
17	16	biimpa	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 )
18	17	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑥 ·ℎ 𝐴 ) ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 )
19	12 18	syl	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 )
20	6 10 19	divcld	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) / ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
21	1 20	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )