Theorem elbl4

Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018)

	Ref	Expression
Assertion	elbl4	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ 𝐵 ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) 𝐴 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ* )
2		blcomps	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ 𝐴 ∈ ( 𝐵 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) )
3	1 2	sylanl2	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ 𝐴 ∈ ( 𝐵 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) )
4		simpll	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) )
5		simprr	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
6		simplr	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑅 ∈ ℝ+ )
7		blval2	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) = ( ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) “ { 𝐵 } ) )
8	7	eleq2d	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ 𝐴 ∈ ( ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) “ { 𝐵 } ) ) )
9	4 5 6 8	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ 𝐴 ∈ ( ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) “ { 𝐵 } ) ) )
10		elimasng	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ∈ ( ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) “ { 𝐵 } ) ↔ ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ∈ ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ) )
11		df-br	⊢ ( 𝐵 ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) 𝐴 ↔ ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ∈ ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) )
12	10 11	bitr4di	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ∈ ( ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) “ { 𝐵 } ) ↔ 𝐵 ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) 𝐴 ) )
13	12	ancoms	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ∈ ( ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) “ { 𝐵 } ) ↔ 𝐵 ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) 𝐴 ) )
14	13	adantl	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) “ { 𝐵 } ) ↔ 𝐵 ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) 𝐴 ) )
15	3 9 14	3bitrd	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ 𝐵 ( ◡ 𝐷 “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) 𝐴 ) )