Theorem elioomnf

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014)

	Ref	Expression
Assertion	elioomnf	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ( -∞ (,) 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		elioo2	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 ∈ ( -∞ (,) 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ) )
3	1 2	mpan	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ( -∞ (,) 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ) )
4		an32	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ) ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ∧ -∞ < 𝐵 ) )
5		df-3an	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ) ∧ 𝐵 < 𝐴 ) )
6		mnflt	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵 )
7	6	adantr	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ) → -∞ < 𝐵 )
8	7	pm4.71i	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ∧ -∞ < 𝐵 ) )
9	4 5 8	3bitr4i	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ) )
10	3 9	bitrdi	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ( -∞ (,) 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ) ) )