Theorem elioopnf

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014)

	Ref	Expression
Assertion	elioopnf	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 (,) +∞ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		elioo2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 (,) +∞ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) )
3	1 2	mpan2	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 (,) +∞ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ) )
4		df-3an	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 < +∞ ) )
5		ltpnf	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞ )
6	5	adantr	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐵 < +∞ )
7	6	pm4.71i	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ∧ 𝐵 < +∞ ) )
8	4 7	bitr4i	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) )
9	3 8	bitrdi	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 (,) +∞ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) ) )