Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → { 𝑧 } = { 𝐴 } ) |
2 |
1
|
ixpeq1d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 = X 𝑥 ∈ { 𝐴 } 𝐵 ) |
3 |
2
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → ( 𝐹 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 ↔ 𝐹 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝐴 } 𝐵 ) ) |
4 |
|
opeq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → 〈 𝑧 , 𝑦 〉 = 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ) |
5 |
4
|
sneqd |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } = { 〈 𝐴 , 𝑦 〉 } ) |
6 |
5
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → ( 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ↔ 𝐹 = { 〈 𝐴 , 𝑦 〉 } ) ) |
7 |
6
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑧 = 𝐴 → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐹 = { 〈 𝐴 , 𝑦 〉 } ) ) |
8 |
|
elex |
⊢ ( 𝐹 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 → 𝐹 ∈ V ) |
9 |
|
snex |
⊢ { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ∈ V |
10 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → ( 𝐹 ∈ V ↔ { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ∈ V ) ) |
11 |
9 10
|
mpbiri |
⊢ ( 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → 𝐹 ∈ V ) |
12 |
11
|
rexlimivw |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → 𝐹 ∈ V ) |
13 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝐹 → ( 𝑤 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 ↔ 𝐹 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 ) ) |
14 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝐹 → ( 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ↔ 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) ) |
15 |
14
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑤 = 𝐹 → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) ) |
16 |
|
vex |
⊢ 𝑤 ∈ V |
17 |
16
|
elixp |
⊢ ( 𝑤 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 ↔ ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑧 } ( 𝑤 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) |
18 |
|
vex |
⊢ 𝑧 ∈ V |
19 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑤 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ) |
20 |
19
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑤 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ) |
21 |
18 20
|
ralsn |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ { 𝑧 } ( 𝑤 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) |
22 |
21
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑧 } ( 𝑤 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ) |
23 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) → 𝑤 Fn { 𝑧 } ) |
24 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑧 → ( 𝑤 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ) |
25 |
24
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑧 → ( ( 𝑤 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ) |
26 |
18 25
|
ralsn |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ { 𝑧 } ( 𝑤 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) |
27 |
26
|
biimpri |
⊢ ( ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 → ∀ 𝑦 ∈ { 𝑧 } ( 𝑤 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ { 𝑧 } ( 𝑤 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
29 |
|
ffnfv |
⊢ ( 𝑤 : { 𝑧 } ⟶ 𝐵 ↔ ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑧 } ( 𝑤 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ) |
30 |
23 28 29
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) → 𝑤 : { 𝑧 } ⟶ 𝐵 ) |
31 |
18
|
fsn2 |
⊢ ( 𝑤 : { 𝑧 } ⟶ 𝐵 ↔ ( ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = { 〈 𝑧 , ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) 〉 } ) ) |
32 |
30 31
|
sylib |
⊢ ( ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = { 〈 𝑧 , ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) 〉 } ) ) |
33 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) → 〈 𝑧 , 𝑦 〉 = 〈 𝑧 , ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) 〉 ) |
34 |
33
|
sneqd |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) → { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } = { 〈 𝑧 , ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) 〉 } ) |
35 |
34
|
rspceeqv |
⊢ ( ( ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = { 〈 𝑧 , ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) 〉 } ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) |
36 |
32 35
|
syl |
⊢ ( ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) |
37 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
38 |
18 37
|
fvsn |
⊢ ( { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ‘ 𝑧 ) = 𝑦 |
39 |
|
id |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵 ) |
40 |
38 39
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) |
41 |
18 37
|
fnsn |
⊢ { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } Fn { 𝑧 } |
42 |
40 41
|
jctil |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } Fn { 𝑧 } ∧ ( { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ) |
43 |
|
fneq1 |
⊢ ( 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ↔ { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } Fn { 𝑧 } ) ) |
44 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) = ( { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ‘ 𝑧 ) ) |
45 |
44
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → ( ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ↔ ( { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ) |
46 |
43 45
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → ( ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ↔ ( { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } Fn { 𝑧 } ∧ ( { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ) ) |
47 |
42 46
|
syl5ibrcom |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ) ) |
48 |
47
|
rexlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } → ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ) |
49 |
36 48
|
impbii |
⊢ ( ( 𝑤 Fn { 𝑧 } ∧ ( 𝑤 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) |
50 |
17 22 49
|
3bitri |
⊢ ( 𝑤 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) |
51 |
13 15 50
|
vtoclbg |
⊢ ( 𝐹 ∈ V → ( 𝐹 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) ) |
52 |
8 12 51
|
pm5.21nii |
⊢ ( 𝐹 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝑧 } 𝐵 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐹 = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) |
53 |
3 7 52
|
vtoclbg |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( 𝐹 ∈ X 𝑥 ∈ { 𝐴 } 𝐵 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐹 = { 〈 𝐴 , 𝑦 〉 } ) ) |